Задача 79958 ...

5f282cfba9074b3a3bc0f013

3/2/2025 1:40:27 PM

3. В правильной шестиугольной призме АВСDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ боковое ребро равно 2, а площадь ее основания равна 30. Найдите объем треугольной пирамиды FA₁C₁E₁.

Источник: alexlarin.net, вариант 493

68501b46d00c766c9c688611

6/16/2025 2:19:30 PM

★

Обозначим сторону правильного шестиугольника через s.
Его площадь равна

S₀ = 30 = 3√3 s² / 2  ⇒  s² = 60 /(3√3) = 20/√3. (1)

Высота призмы (боковое ребро) h = 2.

Выберем координаты.
Пусть плоскость основания – z = 0, а центр шестиугольника – начало координат.
Расположим вершины так:

A ( s, 0, 0 )
B ( s/2, √3 s/2, 0 )
C (-s/2, √3 s/2, 0 )
D (-s, 0, 0 )
E (-s/2, –√3 s/2, 0 )
F ( s/2, –√3 s/2, 0 ).

У верхнего основания те же x, y-координаты, но z = 2, то есть
A₁( s, 0, 2), C₁(-s/2, √3 s/2, 2), E₁(-s/2, –√3 s/2, 2).

Возьмём вершину F за начало отсчёта и составим векторы

FA₁ = ( s/2, √3 s/2, 2),
FC₁ = (-s, √3 s, 2),
FE₁ = (-s, 0, 2).

Объём тетраэдра F A₁ C₁ E₁ равен

V = 1/6 |det( FA₁, FC₁, FE₁ )|.

Вычислим определитель:

| s/2 √3 s/2 2 |
|-s √3 s 2 | = 3√3 s²
|-s 0 2 |

Следовательно

V = 1/6 · 3√3 s² = (√3/2) s². (2)

Подставляя (1):

V = (√3/2) · (20/√3) = 20/2 = 10.

Ответ: 10.