Задача 79946 ...

683f83406219cf3b3a5b6408

6/3/2025 11:27:51 PM

Найдите все корни уравнения, принадлежащие данному отрезку: 4sin^2 x+8cosx+1=0,[π;3π;].

5f282cfba9074b3a3bc0f013

6/4/2025 12:53:53 PM

★

1) Сведём его к выражению через cos(x). Поскольку sin²(x) = 1 - cos²(x), перепишем:

4(1 - cos²(x)) + 8cos(x) + 1 = 0
4 - 4cos²(x) + 8cos(x) + 1 = 0
-4cos²(x) + 8cos(x) + 5 = 0

Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид:

4cos²(x) - 8cos(x) - 5 = 0.

2) Обозначим t = cos(x). Тогда решаем уравнение:

4t² - 8t - 5 = 0.

Дискриминант:

D = (-8)² - 4·4·(-5) = 64 + 80 = 144, √D = 12.

Следовательно,

t = (8 ± 12) / (2·4) = (8 ± 12) / 8.

Отсюда получаем два корня:

t₁ = 20 / 8 = 2.5 (неприемлем, так как |cos(x)| ≤ 1)
t₂ = -4 / 8 = -0.5.

Значит, cos(x) = -0.5.

3) Корни уравнения cos(x) = -1/2 известны:

x = 2π/3 + 2kπ или x = 4π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ.

4) Найдём, какие из этих корней попадают в отрезок [π; 3π]:

• При x = 2π/3 + 2kπ:
– k = 0 даёт x = 2π/3 < π, не подходит.
– k = 1 даёт x = 2π/3 + 2π = 8π/3, и π ≤ 8π/3 ≤ 3π действительно выполняется (8π/3 ≈ 8.38 ∈ [3.14, 9.42]).

• При x = 4π/3 + 2kπ:
– k = 0 даёт x = 4π/3, и π ≤ 4π/3 ≤ 3π также верно (4π/3 ≈ 4.19 ∈ [3.14, 9.42]).
– k = 1 даёт x = 4π/3 + 2π = 10π/3, что уже больше 3π и не попадает в заданный отрезок.

Таким образом, в промежутке [π; 3π] получаем два решения:

x = 4π/3 и x = 8π/3.