Задача 79943 Метод вариации произвольной...
Условие
y'' - y = x e^x
Решение
Это ЛНДУ 2 порядка.
Однородное уравнение:
y'' - y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 1 = 0
(k + 1)(k - 1) = 0
k1 = -1; k2 = 1
Решение однородного уравнения:
y(o) = C1*e^(-x) + C2*e^(x)
Решаем неоднородное уравнение методом вариации произвольных постоянных.
Представим, что постоянные C1 и C2 - это функции C1 = Z1(x) и C2 = Z2(x).
y(н) = Z1(x)*e^(-x) + Z2(x)*e^(x)
Составляем систему уравнений с производными:
{ Z1'(x)*e^(-x) + Z2'(x)*e^(x) = 0
{ Z1'(x)*(e^(-x))' + Z2'(x)*(e^(x))' = x*e^(x)
Находим производные во 2 уравнении:
{ Z1'(x)*e^(-x) + Z2'(x)*e^(x) = 0
{ -Z1'(x)*e^(-x) + Z2'(x)*e^(x) = x*e^(x)
Складываем уравнения:
Z1'(x)*e^(-x) + Z2'(x)*e^(x) - Z1'(x)*e^(-x) + Z2'(x)*e^(x) = 0 + x*e^(x)
2*Z2'(x)*e^(x) = x*e^(x)
Делим левую и правую части на e^(x):
2*Z2'(x) = x
Z2'(x) = x/2
Z2(x) = x^2/4
Подставляем Z2'(x) в любое уравнение системы:
Z1'(x)*e^(-x) + x/2*e^(x) = 0
Z1'(x) = -x/2*e^(2x)
[m]Z1(x) = \int (-\frac{x}{2} \cdot e^{2x}) dx = -\frac{1}{2} \cdot \int x \cdot e^{2x} dx[/m]
Интегрируем по частям:
u = x; dv = e^(2x) dx; du = dx; v = 1/2*e^(2x)
[m]Z1(x) = -\frac{1}{2} \cdot (\frac{x}{2} \cdot e^{2x} - \int \frac{1}{2} \cdot e^{2x} dx) =[/m]
[m]= -\frac{x}{4} \cdot e^{2x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{2x}[/m]
[m]Z1(x) = (-\frac{x}{4} + \frac{1}{8}) \cdot e^{2x}[/m]
Константы:
[m]C1 = Z1(x) = (-\frac{x}{4} + \frac{1}{8}) \cdot e^{2x}[/m]
[m]C2 = Z2(x) = \frac{x^2}{4}[/m]
Получаем частное решение неоднородного уравнения:
[m]y(н) = Z1(x)*e^{-x} + Z2(x)*e^{x} = (-\frac{x}{4} + \frac{1}{8}) \cdot e^{2x} \cdot e^{-x} + \frac{x^2}{4} \cdot e^{x}[/m]
[m]y(н) = (-\frac{x}{4} + \frac{1}{8}) \cdot e^{x} + \frac{x^2}{4} \cdot e^{x} = (\frac{x^2}{4}-\frac{x}{4} + \frac{1}{8}) \cdot e^{x}[/m]
Общее решение неоднородного уравнения:
[m]y(x) = y(o) + y(н) = C1 \cdot e^{-x} + C2 \cdot e^{x} + (\frac{x^2}{4}-\frac{x}{4} + \frac{1}{8}) \cdot e^{x}[/m]