Задача 79936 ...

683c997e6219cf3b3a5b6337

6/1/2025 6:21:49 PM

u = e^x (x cos y - y sin y); показать, что ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0.

626fab9a354ab65fb2f43abb

6/2/2025 7:54:10 AM

★

u = e^(x)*(x*cos y - y*sin y)
Производные 1 порядка:
[m]\frac{du}{dx} = (e^{x})'_{x} \cdot (x \cos y - y \sin y) + e^{x} \cdot (x \cos y - y \sin y)'_{x} =[/m]
[m]= e^{x} \cdot (x \cos y - y \sin y) + e^{x} \cdot \cos y = e^{x} \cdot (x \cos y - y \sin y + \cos y)[/m]

[m]\frac{du}{dy} = e^{x} \cdot (x \cos y - y \sin y)'_{y} = e^{x} \cdot (-x \sin y - \sin y - y \cos y)[/m]

Производные 2 порядка:
[m]\frac{d^2u}{dx^2} = (e^{x})'_{x} \cdot (x \cos y - y \sin y + \cos y) + e^{x} \cdot (x \cos y - y \sin y + \cos y)'_{x} =[/m]
[m]= e^{x} \cdot (x \cos y - y \sin y + \cos y + \cos y) = e^{x} \cdot (x \cos y - y \sin y + 2\cos y)[/m]

[m]\frac{d^2u}{dy^2} = e^{x} \cdot (-x \sin y - \sin y - y \cos y)'_{y} = e^{x} \cdot (-x \cos y - \cos y - cos y - y(-\sin y)) =[/m]
[m]= e^{x} \cdot (-x \cos y - 2\cos y + y \sin y)[/m]

Проверяем равенство:
[m]\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{d^2u}{dy^2} = e^{x} \cdot (x \cos y - y \sin y + 2\cos y) + e^{x} \cdot (-x \cos y - 2\cos y + y \sin y) =[/m]
[m]= e^{x} \cdot (x \cos y - y \sin y + 2\cos y - x \cos y - 2\cos y + y \sin y) = e^{x} \cdot 0 = 0[/m]
Что и требовалось доказать