Задача 79926 ...

640375d23e36af3a95c1d69e

5/26/2025 4:03:18 AM

Решить интеграл ∫ x*arctg(x) dx

5f282cfba9074b3a3bc0f013

5/26/2025 8:35:45 AM

★

Решим интеграл методом интегрирования по частям. Пусть
u = arctg(x), тогда du = dx / (1 + x²),
dv = x dx, тогда v = x² / 2.

Тогда по формуле интегрирования по частям
∫u dv = uv − ∫v du
получаем:

∫ x·arctg(x) dx = (x²/2)·arctg(x) − ∫(x²/2)·(1/(1 + x²)) dx.

Далее упростим второй интеграл:

∫ (x²/(1 + x²)) dx = ∫ [1 − (1/(1 + x²))] dx = ∫ 1 dx − ∫ (1/(1 + x²)) dx = x − arctg(x).

Таким образом,

∫ x·arctg(x) dx = (x²/2)·arctg(x) − (1/2)[x − arctg(x)] + C,
что можно записать в развёрнутом виде как

∫ x·arctg(x) dx = [b](x²/2)·arctg(x) − x/2 + (1/2)·arctg(x) + C[/b].