Задача 79919 ...
Условие
Решение
Решается методом неопределенных коэффициентов.
Раскладываем дробь на сумму дробей:
[m]\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A1}{x-1} + \frac{A2}{x-2} + \frac{A3}{x-3} = [/m]
[m] = \frac{A1(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)} + \frac{A2(x-1)(x-3)}{(x-2)(x-1)(x-3)} + \frac{A3(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-1)(x-2)} =[/m]
[m]\frac{A1(x^2-5x+6) + A2(x^2-4x+3) + A3(x^2-3x+2)}{(x-1)(x-2)(x-3)} = [/m]
[m]\frac{(A1 + A2 + A3)x^2 +(-5A1-4A2 - 3A3)x + (6A1 +3A2 + 2A3)}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{0x^2 +2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}[/m]
Дроби равны, знаменатели одинаковы, значит, и числители равны.
Составляем систему по степеням x:
{ A1 + A2 + A3 = 0
{ - 5A1 - 4A2 - 3A3 = 2
{ 6A1 + 3A2 + 2A3 = 1
Умножаем 1 уравнение на 5 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -6 и складываем с 3 уравнением.
{ A1 + A2 + A3 = 0
{ 0A1 + A2 + 2A3 = 2
{ 0A1 - 3A2 - 4A3 = 1
Умножаем 2 уравнение на 3 и складываем с 3 уравнением.
{ A1 + A2 + A3 = 0
{ 0A1 + A2 + 2A3 = 2
{ 0A1 + 0A2 + 2A3 = 7
Получаем: A3 = 7/2 = 3,5. Подставляем во 2 уравнение:
0A1 + A2 + 7 = 2
Отсюда A2 = 2 - 7 = -5. Подставляем в 1 уравнение:
A1 - 5 + 3,5 = 0
A1 = 5 - 3,5 = 1,5
Возвращаемся к интегралу:
[m]\int \frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} dx = \int (\frac{A1}{x-1} + \frac{A2}{x-2} + \frac{A3}{x-3}) dx =[/m]
[m]= \int (\frac{1,5}{x-1} - \frac{5}{x-2} + \frac{3,5}{x-3}) dx = 1,5 \ln |x-1| - 5 \ln |x-2| + 3,5 \ln |x-3| + C[/m]