Задача 79842 ...

6819ab3b5fd3d26f525ef331

5/6/2025 6:25:54 AM

Случайная величина X задана функцией распределения
F (x) = {
0, при х ≤ 2
0, 5x − 1, при 2 < x ≤ 5
1, при х > 5
а) Найти плотность распределения f(x).
б) Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в
интервале [3; 5 )

5f282cfba9074b3a3bc0f013

5/6/2025 12:12:23 PM

★

1) Плотность распределения f(x)

Плотность f(x) получается как производная F(x) по x на тех промежутках, где F(x) является дифференцируемой функцией. Согласно заданию:

• Для x ≤ 2, F(x) = 0, значит f(x) = 0.
• Для 2 < x ≤ 5, F(x) = 0,5x – 1.
Тогда производная d/dx (0,5x – 1) = 0,5, то есть f(x) = 0,5.
• Для x > 5, F(x) = 1, значит f(x) = 0.

Итого,
f(x) =
0, x ≤ 2,
0,5, 2 < x ≤ 5,
0, x > 5.

2) Вероятность P(3 ≤ X < 5)

Вероятность того, что случайная величина попадёт в промежуток [3; 5), по определению равна:

P(3 ≤ X < 5) = F(5–) – F(3–).

Так как на (2; 5] функция распределения задана выражением 0,5x – 1, то:

• F(3) = 0,5·3 – 1 = 1,5 – 1 = 0,5.
(с учётом непрерывности на (2; 5) можно брать F(3–) = F(3).)

• F(5–) = 0,5·5 – 1 = 2,5 – 1 = 1,5.
(берём «левое» предельное значение в точке 5.)

Следовательно,

P(3 ≤ X < 5) = 1,5 – 0,5 = 1