Задача 79831 провести полное исследование функции и...
Условие
Решение
План исследования функции:
1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
Область определения D(Y) = (-oo; +oo). Точек разрыва нет.
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Вертикальных асимптот нет.
3. Найти точки пересечения с осями координат.
Точки пересечения с осью абсцисс.
[m]\sqrt[3]{(x+2)(x^2+4x+1)} = 0[/m]
(x + 2)(x^2 + 4x + 1) = 0
x1 = -2
x^2 + 4x + 1 = 0
D/4 = 2^2 - 1*1 = 4 - 1 = 3
[m]x2 = -2 - \sqrt{3};\ \ x3 = -2 + \sqrt{3}[/m]
Точка пересечения с осью ординат.
[m]y(0) = \sqrt[3]{(0+2)(0^2+4 \cdot 0 +1)} = \sqrt[3]{2 \cdot 1} = \sqrt[3]{2}[/m]
4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
Не четная и не нечетная.
5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
Не периодическая.
6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
[m]y' = \frac{1}{3} \cdot ((x+2)(x^2+4x+1))^{-2/3} \cdot (1(x^2+4x+1) + (x+2)(2x+4)) = [/m]
[m] = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2+4x+1+2x^2+8x+8}{\sqrt[3]{((x+2)(x^2+4x+1))^2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3x^2+12x+9}{\sqrt[3]{((x+2)(x^2+4x+1))^2}} =[/m]
[m]y' = \frac{x^2+4x+3}{\sqrt[3]{((x+2)(x^2+4x+1))^2}} = 0[/m]
Критические точки - это точки, в которых или y' = 0, или y' не определена.
x^2 + 4x + 3 = 0
Или
(x+2)(x^2+4x+1) ≠ 0
Раскладываем 1 уравнение на скобки:
(x + 3)(x + 1) = 0
Или
x ≠ -2; x ≠ -2 - sqrt(3); -2 + sqrt(3)
Критические точки:
x1 = -2 - sqrt(3); x2 = -3; x3 = -2; x4 = -1; x5 = -2 + sqrt(3)
Интервалы монотонности.
Заметим, что в знаменателе стоит квадрат, поэтому он больше 0 на всей области определения.
Поэтому знак производной зависит только от числителя:
3x^2 + 12x + 9
При x < -2 - sqrt(3) будет y' > 0 - функция возрастает
При x ∈ (-2 - sqrt(3); -3) будет y' > 0 - функция возрастает
x = -2 - sqrt(3) - не критическая точка
При x ∈ (-3; -2) будет y' < 0 - функция убывает
x = -3 - точка максимума.
При x ∈ (-2; -1) будет y' < 0 - функция убывает
x = -2 - не критическая точка
При x ∈ (-1; -2 + sqrt(3)) будет y' > 0 - функция возрастает
x = -1 - точка минимума
При x > -2 + sqrt(3) будет y' > 0 - функция возрастает
-2 + sqrt(3) - не критическая точка
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Представим y' в более удобном виде:
[m]y' = \frac{x^2+4x+3}{\sqrt[3]{((x+2)(x^2+4x+1))^2}} = (x^2+4x+3)(x^3+6x^2+9x+2)^{-2/3}[/m]
Берем производную от произведения:
[m]y'' = (2x+4)(x^3+6x^2+9x+2)^{-2/3} + [/m]
[m]+ (x^2+4x+3)(-\frac{2}{3})(x^3+6x^2+9x+2)^{-5/3}(3x^2+12x+9)= 0[/m]
[m]\frac{2x+4}{(x^3+6x^2+9x+2)^{2/3}} - \frac{2(x^2+4x+3)(3x^2+12x+9)}{3(x^3+6x^2+9x+2)^{5/3}} =0[/m]
[m]\frac{3(2x+4)(x^3+6x^2+9x+2) - 2(x^2+4x+3)(3x^2+12x+9)}{3(x^3+6x^2+9x+2)^{5/3}} = 0[/m]
Критические точки - это точки, в которых или y'' = 0, или y'' не определена.
3(2x+4)(x^3+6x^2+9x+2) - 2(x^2+4x+3)(3x^2+12x+9) = 0
Или
(x+2)(x^2+4x+1) ≠ 0
Раскрываем скобки в 1 уравнении:
3(2x^4+16x^3+42x^2+40x+8) - 2(3x^4+24x^3+66x^2+72x+27) = 0
Или
(x+2)(x^2+4x+1) ≠ 0
Окончательно раскрываем скобки в 1 уравнении:
6x^4 + 48x^3 + 126x^2 + 120x + 24 - 6x^4 - 48x^3 - 132x^2 - 144x - 54 = 0
Или
(x+2)(x^2+4x+1) ≠ 0
Приводим подобные в 1 уравнении:
-6x^2 - 24x - 30 = 0
Или
(x+2)(x^2+4x+1) ≠ 0
Делим 1 уравнение на -6:
x^2 + 4x + 5 = 0
Или
(x+2)(x^2+4x+1) ≠ 0
1 уравнение действительных корней не имеет. Левая часть всегда больше 0.
Критические точки:
x1 = -2 - sqrt(3); x2 = -2; x3 = -2 + sqrt(3)
Они все являются точками перегиба.
При x < -2 - sqrt(3) будет y'' > 0, график выпуклый вниз.
При x ∈ (-2 - sqrt(3); -2) будет y'' < 0, график выпуклый вверх.
При x ∈ (-2; -2 + sqrt(3)) будет y'' > 0, график выпуклый вниз.
При x > -2 + sqrt(3) будет y'' < 0, график выпуклый вверх.
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Наклонная асимптота имеет вид: f(x) = k*x + b, где:
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{(x+2)(x^2+4x+1)}}{x} =[/m]
[m]= \lim \limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^3+6x^2+9x+2}}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^3}}{x} = 1[/m]
[m]b = \lim \limits_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim \limits_{x \to \infty} (\sqrt[3]{x^3+6x^2+9x+2} - x)[/m]
Я не знаю, как это решать, но ответ b = 2
Наклонная асимптота: f(x) = x + 2
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
[m]y(-3) = \sqrt[3]{(x+2)(x^2+4x+1)} = \sqrt[3]{(-3+2)((-3)^2+4(-3)+1)} =[/m]
[m]= \sqrt[3]{(-1)(9-12+1)} = \sqrt[3]{2}[/m]
[m]y(-1) = \sqrt[3]{(x+2)(x^2+4x+1)} = \sqrt[3]{(-1+2)((-1)^2+4(-1)+1)} = [/m]
[m] = \sqrt[3]{1(1-4+1)} = -\sqrt[3]{2}[/m]
10. Построить график и асимптоты.
График прилагается. Наклонная асимптота показана черной линией.
