Задача 79830 ...
Условие
Решение
{ 8x + 10y = 5
Эти прямые параллельны друг другу, потому что их коэффициенты пропорциональны:
4/8 = 5/10 = 1/2
Построим уравнение любой прямой, перпендикулярной к ним.
ax + by = c
Должно соблюдаться равенство:
x1*x2 + y1*y2 = 0
В нашем случае:
4a + 5b = 0
4a = -5b
Подходит:
a = 5, b = -4
Свободный член с может быть любым, например, 1:
5x - 4y = 1
Теперь найдем точки пересечения этой прямой с нашими двумя прямыми:
1)
{ 4x + 5y = 9
{ 5x - 4y = 1
Умножаем 1 уравнение на 4, а 2 уравнение на 5:
{ 16x + 20y = 36
{ 25x - 20y = 5
И складываем уравнения:
41x = 41
x = 1
Подставляем в любое уравнение:
5*1 - 4y = 1
4y = 5 - 1
y = 1
Первая точка A(1; 1)
2)
{ 8x + 10y = 5
{ 5x - 4y = 1
Умножаем 1 уравнение на 4, а 2 уравнение на 10:
{ 32x + 40y = 20
{ 50x - 40y = 10
И складываем уравнения:
82x = 30
x = 30/82 = 15/41
Подставляем в любое уравнение:
8*15/41 + 10y = 5
10y = 5 - 120/41 = (205 - 120)/41 = 85/41
y = 85/410 = 17/82
B(30/82; 17/82)
Теперь находим расстояние AB.
Это и будет расстояние между прямыми:
[m]|AB| = \sqrt{(1 - \frac{30}{82})^2 + (1 - \frac{17}{82})^2} = \sqrt{(\frac{82-30}{82})^2 + (\frac{82-17}{82})^2} = \sqrt{(\frac{52}{82})^2 + (\frac{65}{82})^2}=[/m]
[m] = \sqrt{\frac{2704+4225}{82^2}} = \frac{\sqrt{6929}}{82}[/m]