Задача 79740 написать решение и сделать рисунок...
Условие
Решение
R = OM = ON = 6,5; MN = 12
Найти сторону ромба: AB = BC = CD = DA.
По теореме косинусов из треугольника OMN:
MN^2 = OM^2 + MN^2 - 2*OM*MN*cos MON
12^2 = 6,5^2 + 6,5^2 - 2*6,5*6,5*cos MON
2*6,5^2*cos MON = 42,25 + 42,25 - 144
2*42,25*cos MON = 84,5 - 144
cos MON = -59,5/84,5 = -595/845 = -119/169
Угол MON ≈ 134,76° ≈ 135°
В 4-угольнике OMDN сумма углов равна 360°, как в любом 4-угольнике.
Углы OMD = OND = 90°, как углы между радиусом и касательной.
Поэтому углы
MON + MDN = 180°
Отсюда
MDN = 180° - 135° = 45°
Рассмотрим прямоугольный треугольник MOD.
MDO = MDN/2 = 45°/2 = 22,5°
MOD = 90° - MDO = 90° - 22,5° = 67,5°
tg MDO = MO/DM
tg 22,5° = 6,5/DM
По формуле тангенса половинного угла:
[m]tg\ \frac{a}{2} = \frac{\sin a}{1+ \cos a}[/m]
[m]tg\ 22,5° = \frac{\sin 45°}{1+ \cos 45°} = \frac{\sqrt{2}}{2} : (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} : \frac{2+\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} =[/m]
[m]= \frac{\sqrt{2}(2 - \sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} =\frac{2\sqrt{2}- 2}{4-2} = \sqrt{2} - 1[/m]
Отсюда:
[m]DM = \frac{6,5}{tg\ 22,5°} = \frac{6,5}{\sqrt{2} - 1} = \frac{6,5(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{6,5(\sqrt{2} + 1)}{2-1} = 6,5(\sqrt{2} + 1)[/m]
Рассмотрим треугольник CMO. Он прямоугольный, угол
COM = 90° - MOD = 90° - 67,5° = 22,5°
tg COM = MC/MO
tg 22,5° = MC/6,5
[m]MC = 6,5 \cdot tg\ 22,5° = 6,5(\sqrt{2} - 1)[/m]
И, наконец, сторона ромба:
[m]DC = DM + MC = 6,5(\sqrt{2} + 1) + 6,5(\sqrt{2} - 1) = 6,5 \sqrt{2} + 6,5 + 6,5 \sqrt{2} - 6,5 = 13\sqrt{2}[/m]