Задача 79736 решить систему уравнений { (2x + y)^2 =...

67fa5d189cba5f5fc69ef3cd

4/14/2025 12:12:51 PM

решить систему уравнений

{ (2x + y)^2 = 2x + 2 + y,
{ x - y = 7.

5f282cfba9074b3a3bc0f013

4/14/2025 1:33:53 PM

★

Решим систему:

[m]
\begin{cases}
(2x + y)^2 = 2x + 2 + y, \\
x - y = 7.
\end{cases}
[/m]

1) Из второго уравнения выразим [m]y[/m]:
[m]
y = x - 7.
[/m]
2) Подставим это в первое уравнение:
[m]
(2x + (x-7))^2 = 2x + 2 + (x-7).
[/m]
Левая сторона:
[m]
(3x - 7)^2 = 9x^2 - 42x + 49.
[/m]
Правая сторона:
[m]
3x - 5.
[/m]
Следовательно,
[m]
9x^2 - 42x + 49 = 3x - 5 \;\;\Rightarrow\;\;
9x^2 - 45x + 54 = 0 \;\;\Rightarrow\;\;
9(x^2 - 5x + 6) = 0.
[/m]
Отсюда
[m]
x^2 - 5x + 6 = 0 \;\;\Rightarrow\;\; (x-2)(x-3) = 0,
[/m]
то есть [m]x = 2[/m] или [m]x = 3[/m].

Для [m]x = 2[/m]:
[m]
y = 2 - 7 = -5.
[/m]
Для [m]x = 3[/m]:
[m]
y = 3 - 7 = -4.
[/m]

Таким образом, система имеет решения:
[m]
(x,\,y) = (2,\,-5)\quad\text{и}\quad(3,\,-4).
[/m]