Задача 79708 Задача по геометрии Решить методом...
Условие
Решить методом математической индукции
Решение
(0^2 + 0 + 2)/2 = 2/2 = 1
То есть сама плоскость одним куском. Очевидно, это верно.
Для n = 1 получается:
(1^2 + 1 + 2)/2 = 4/2 = 2
Если мы проводим 1 линию, то делим плоскость на 2 части.
Это тоже очевидно верно.
Допустим, что у нас есть n линий, и для них формула верна.
Эти линии разбивают плоскость на:
[m]\large \frac{n^2 + n + 2}{2} = \frac{n(n + 1) + 2}{2} [/m] частей.
Добавим еще одну линию. Стало n+1 линий.
Так как новая линия не параллельна ни одной из старых линий, то она пересекает все линии.
Так как новая линия пересекает n линий, то она делит на две части n+1 кусков плоскости. То есть на плоскости добавляется n+1 кусков. И кусков становится:
[m]\large \frac{n^2 + n + 2}{2} + n+1 = \frac{n^2 + n + 2+ 2n+2}{2} = \frac{n^2 + 3n + 2+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2) + 2}{2}[/m]
Но по формуле n+1 линия и должна делить плоскость на:
[m]\large \frac{(n+1)(n+2) + 2}{2}[/m] частей.
Что и требовалось доказать.