Задача 79649 Выяснить характер точек разрыва функции...
Условие
Решение
1 - x^2 = 0
(1 - x)(1 + x) = 0
x1 = -1; x2 = 1
Пределы в этих точках слева и справа:
1) [m]\lim \limits_{x \to -1-0} (1+x) arctg\ \frac{1}{1-x^2} = (1+(-1)) arctg\ \frac{1}{-0} = 0 arctg\ (-\infty) = 0 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = 0[/m]
[m]\lim \limits_{x \to -1+0} (1+x) arctg\ \frac{1}{1-x^2} = (1+(-1)) arctg\ \frac{1}{+0} = 0 arctg\ (+\infty) = 0 \cdot \frac{\pi}{2} = 0[/m]
В точке x = -1 разрыва нет, пределы слева и справа равны.
2) [m]\lim \limits_{x \to 1-0} (1+x) arctg\ \frac{1}{1-x^2} = (1+1) arctg\ \frac{1}{+0} = 2 arctg\ (+\infty) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi[/m]
[m]\lim \limits_{x \to 1+0} (1+x) arctg\ \frac{1}{1-x^2} = (1+1) arctg\ \frac{1}{-0} = 2 arctg\ (-\infty) = 2 \cdot \frac{-\pi}{2} = -\pi[/m]
В точке x = 1 неустранимый разрыв 1 вида - скачок функции.
Причем функция определена только в точке x = 1-0, y(1-0) = π