Задача 79594 ...
Условие
a) ∑ (от n=1 до ∞) n³ / eⁿ
б) ∑ (от n=1 до ∞) ((-1)^(n-1)) / (n * √n)
Решение
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{e^{n+1}} : \frac{n^3}{e^{n}} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{e^{n+1}} \cdot \frac{e^n}{n^3} =[/m]
[m]= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{e^{n}}{e^{n+1}} = 1 \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e} < 1[/m]
По признаку Даламбера ряд сходится.
б) По признаку Лейбница предел модуля члена ряда:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} |a(n)| = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{n \sqrt{n}} = 0[/m]
Это значит, что знакочередующийся ряд сходится.
Установим характер сходимости. Найдем, сходится ли ряд из модулей:
[m]\sum \limits_{n=1}^{\infty} |a(n)| = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}} = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}[/m]
Это обобщенный гармонический ряд:
[m]\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{k}}[/m]
Так как k = 3/2 > 1, то ряд из модулей сходится.
Значит, знакочередующийся ряд сходится абсолютно.