Задача 79570 Нужно решить задачу 30 В задачах...
Условие
В задачах **26-30** составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки **A(x,y)** и данной прямой **x=a** равно числу **k**. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.
30. A(3,0) x=12; k=0,5
.
Решение
Обозначим координаты точек, которые мы ищем, как M(x; y)
Расстояние от точки M до точки A:
|MA| = sqrt((x - 3)^2 + (y - 0)^2) = sqrt((x - 3)^2 + y^2)
Расстояние от точки M до прямой x = 12 - это разность абсцисс:
|MH| = |x - 12|
Отношение этих расстояний должно быть равно k.
sqrt((x - 3)^2 + y^2) : |x - 12| = 0,5
sqrt((x - 3)^2 + y^2) = 0,5*|x - 12|
Возводим в квадрат левую и правую части:
(x - 3)^2 + y^2 = 0,25*(x - 12)^2
Умножим всё уравнение на 4:
4(x^2 - 6x + 9) + 4y^2 = x^2 - 24x + 144
4x^2 - 24x + 36 + 4y^2 = x^2 - 24x + 144
Приводим подобные:
3x^2 + 4y^2 = 144 - 36 = 108
Делим все уравнение на 108, чтобы справа бало 1:
x^2/36 + y^2/27 = 1
Это эллипс с центром O(0; 0) и полуосями a = 6; b = sqrt(27)
На рисунке показан эллипс, точка А и прямая x = 12.
Также показана текущая точка M и расстояния AM и MH до прямой.