Задача 79567 ...
Условие
∑ (от n=1 до ∞) [ n/(n+1) * (x/2)^n ]
Решение
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \bigg (\frac{n+1}{n+2} \cdot (\frac{x}{2})^{n+1} \bigg ) : \bigg (\frac{n}{n+1} \cdot (\frac{x}{2})^{n} \bigg ) =[/m]
[m]= \lim \limits_{n \to \infty} \bigg (\frac{n+1}{n+2} \cdot (\frac{x}{2})^{n+1} \bigg ) \cdot \bigg (\frac{n+1}{n} \cdot (\frac{2}{x})^{n} \bigg ) =\lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+1)}{(n+2)n} \cdot \frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})^{n} \cdot (\frac{2}{x})^{n} =[/m]
[m]= \frac{x}{2} \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^2+2n+1}{n^2+2n} = \frac{x}{2} \cdot 1 = \frac{x}{2}[/m]
По признаку Даламбера, если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} < 1[/m], то ряд сходится.
x/2 < 1
x < 2
Область сходимости: (-2; 2)