Задача 79500 9. Найти все значения параметра [m] k...
Условие
[m] x^2 + 4kx + 3k^2 > 1 \quad и \quad x^2 + 2kx \leq 3k^2 - 8k + 4. [/m]
Решение
То есть по сути решение системы неравенств.
{ x^2 + 4kx + 3k^2 > 1
{ x^2 + 2kx ≤ 3k^2 - 8k + 4
Запишем их как обычные квадратные неравенства:
{ x^2 + 4kx + (3k^2 - 1) > 0
{ x^2 + 2kx - (3k^2 - 8k + 4) ≤ 0
Решаем квадратные уравнения:
{ D/4 = (2k)^2 - (3k^2 - 1) = 4k^2 - 3k^2 + 1 = k^2 + 1 > 0 при любом k.
{ D/4 = k^2 + (3k^2 - 8k + 4) = 4k^2 - 8k + 4 = 4(k - 1)^2 ≥ 0 при любом k.
Находим корни:
{ x1 = -2k - sqrt(k^2 + 1); x2 = -2k + sqrt(k^2 + 1)
{ x3 = -k - 2(k-1) = -3k + 2; x4 = -k + 2(k-1) = k - 2
Заметим, что:
{ x1 < x2 при любом k
{ x3 < x4, то есть -3k + 2 < k - 2 при 4 < 4k, то есть при k > 1
Решения неравенств:
{ x ∈ (-oo; -2k - sqrt(k^2 + 1)) U (-2k + sqrt(k^2 + 1); +oo)
{ x ∈ [-3k + 2; k - 2] при k > 1 или x ∈ [k - 2; -3k + 2] при k < 1
Сначала найдём, при каких k общих решений нет.
Возможно 2 варианта, они показаны на Рисунке.
Решение 1 неравенства показано красной штриховкой,
а решение 2 неравенства - зеленой штриховкой.
Извините, штриховка кривовата, но уж рисую как умею.
Итак, решаем два варианта:
1)
{ k > 1
{ -2k - sqrt(k^2 + 1) < -3k + 2
{ -2k + sqrt(k^2 + 1) > k - 2
Выделяем квадратные корни:
{ k > 1
{ k - 2 < sqrt(k^2 + 1)
{ sqrt(k^2 + 1) > -3k - 2
Так как k > 1, то -3k - 2 < -5, а sqrt(k^2 + 1) > 0 > -5 при любом k > 1
Поэтому третье неравенство выполнено всегда и его можно опустить.
Во 2 неравенстве при k ∈ (1; 2) будет k-2 < 0 и оно тоже выполнено всегда.
Рассмотрим k ≥ 2, тогда k-2 ≥ 0 и можно возвести в квадрат обе части.
{ k ≥ 2
{ k^2 - 4k + 4 < k^2 + 1
Приводим подобные:
{ k ≥ 2
{ 4k > 3
Получаем:
{ k ≥ 2
{ k > 3/4
Решение: k ≥ 2
2)
{ k < 1
{ -2k - sqrt(k^2 + 1) < k - 2
{ -2k + sqrt(k^2 + 1) > -3k + 2
Выделяем квадратные корни:
{ k < 1
{ -3k + 2 < sqrt(k^2 + 1)
{ sqrt(k^2 + 1) > k + 2
а) При k ∈ (2/3; 1) будет -3k + 2 < 0 и 2 неравенство выполнено при любом k ∈ (2/3; 1)
При этом k + 2 > 0 и можно возвести в квадрат обе части 3 неравенства:
{ k ∈ (2/3; 1)
{ k^2 + 1 > k^2 + 4k + 4
Приводим подобные:
{ k ∈ (2/3; 1)
{ 4k < -3
Получаем:
{ k ∈ (2/3; 1)
{ k < -3/4
Эта система решений не имеет.
б) При k < -2 будет k + 2 < 0 и 3 неравенство выполнено при любом k < -2
При этом -3k + 2 > 0 и можно возвести в квадрат обе части 2 неравенства:
{ k < -2
{ 9k^2 - 12k + 4 < k^2 + 1
Приводим подобные:
{ k < -2
{ 8k^2 - 12k + 3 < 0
Решаем квадратное неравенство:
D/4 = (-6)^2 - 8*3 = 36 - 24 = 12 = (2sqrt(3))^2
k1 = (6 - 2sqrt(3))/8 = (3 - sqrt(3))/4 ≈ 0,317 > -2
k2 = (6 + 2sqrt(3))/8 = (3 + sqrt(3))/4 ≈ 1,183 > -2
Получаем:
{ k < -2
{ k ∈ ((3 - sqrt(3))/4; (3 + sqrt(3))/4)
Эти промежутки не пересекаются, система решений не имеет.
Итак, мы получили, что система:
{ x^2 + 4kx + 3k^2 > 1
{ x^2 + 2kx ≤ 3k^2 - 8k + 4
Не имеет решений только в одном варианте: при k ≥ 2
Ответ: При k < 2 система имеет хотя бы одно решение.