Задача 79288 Три числа являются первым, вторым и...

67a9cc7bc60b36522d8b3ecc

2/10/2025 9:53:34 AM

Три числа являются первым, вторым и третьим членами возрастающей
арифметической прогрессии и, соответственно, первым, третьим и вторым членами
геометрической прогрессии. Найдите эти числа, если известно, что сумма квадрата
первого из них, удвоенного второго и утроенного третьего равна 3/4

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/10/2025 9:18:56 PM

★

Обозначим эти числа как члены арифметической прогрессии.
a1; a2 = a1 + d, a3 = a1 + 2d
И они же являются 1, 3 и 2 членами геометрической прогрессии.
b1 = a1; b2 = a3 = a1 + 2d = a1*q; b3 = a1 + d = a1*q^2
Также известно:
a1^2 + 2*a2 + 3*a3 = 3/4
a1^2 + 2(a1 + d) + 3(a1 + 2d) = 3/4
4a1^2 + 8*a1 + 8d + 12*a1 + 24d - 3 = 0
4a1^2 + 20*a1 + 32d - 3 = 0
d = (3 - 4a1^2 - 20*a1)/32

a2 = a1 + (3 - 4a1^2 - 20*a1)/32 = (3 - 4a1^2 + 12*a1)/32
a3 = a1 + 2*(3 - 4a1^2 - 20*a1)/32 = (3 - 4a1^2 - 4*a1)/16

При этом:
a3 = a1*q
a2 = a1*q^2
Получаем:
{ (3 - 4a1^2 + 12*a1)/32 = a1*q^2
{ (3 - 4a1^2 - 4*a1)/16 = a1*q
Это уже система 2 уравнений с 2 неизвестными, которую можно решить.
{ 3 - 4a1^2 + 12*a1 = 32*a1*q^2
{ 3 - 4a1^2 - 4*a1 = 16*a1*q
Умножаем 2 уравнение на -1:
{ 3 - 4a1^2 + 12*a1 = 32*a1*q^2
{ -3 + 4a1^2 + 4*a1 = -16*a1*q
Складываем уравнения:
16*a1 = 32*a1*q^2 - 16*a1*q
Сокращаем на 16*a1:
2q^2 - q = 1
2q^2 - q - 1 = 0
(q - 1)(2q + 1) = 0
q = 1 - в этом случае не будет геометрической прогрессии, все члены равны.
q = -1/2 - это подходит.
Подставляем в 1 уравнение системы:
(3 - 4a1^2 + 12*a1)/32 = a1*q^2
3 - 4a1^2 + 12*a1 = 32*a1*1/4
3 - 4a1^2 + 12*a1 = 8a1
3 - 4a1^2 + 4*a1 = 0
4a1^2 - 4a1 - 3 = 0
D/4 = (-2)^2 - 4(-3) = 4 = 12 = 16 = 4^2
a1(1) = (2 - 4)/4 = -2/4 = -1/2
a1(2) = (2 + 4)/4 = 6/4 = 3/2

Получили 2 варианта:
1) a1 = -1/2; q = -1/2
[m]d = \frac{3 - 4a1^2 - 20a1}{32} = \frac{3 - 4 \cdot 1/4 - 20(-1/2)}{32} = \frac{3 - 1 + 10}{32} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}[/m]
[m]a2 = \frac{3 - 4a1^2 + 12a1}{32} = \frac{3 - 4 \cdot 1/4 + 12(-1/2)}{32} = \frac{3 - 1 - 6}{32} = -\frac{4}{32} = -\frac{1}{8}[/m]
[m]a3 = \frac{3 - 4a1^2 - 4a1}{16} = \frac{3 - 4 \cdot 1/4 - 4(-1/2)}{16} = \frac{3 - 1 + 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}[/m]

2) a1 = 3/2; q = -1/2
[m]d = \frac{3 - 4a1^2 - 20a1}{32} = \frac{3 - 4 \cdot 9/4 - 20 \cdot 3/2}{32} = \frac{3 - 9 - 30}{32} = \frac{-36}{32} = -\frac{9}{8}[/m]
[m]a2 = \frac{3 - 4a1^2 + 12a1}{32} = \frac{3 - 4 \cdot 9/4 + 12 \cdot 3/2}{32} = \frac{3 - 9 + 18}{32} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}[/m]
[m]a3 = \frac{3 - 4a1^2 - 4a1}{16} = \frac{3 - 4 \cdot 9/4 - 4 \cdot 3/2}{16} = \frac{3 - 9 - 6}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}[/m]
Однако, эта прогрессия получилась убывающая.

Ответ: 1) a1 = -1/2; a2 = -1/8; a3 = 1/4