Задача 79200 провести полное исследование функции...
Условие
построить график: y=x/(x-1)^2
Решение
План исследования функции:
1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
x ≠ 1
x ∈ (-oo; 1) U (1; +oo)
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Вертикальная асимптота при x = 1
3. Найти точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: x = 0
y(0) = 0
С осью Ox: y = 0
y(0) = 0
График проходит через начало координат.
4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
[m]\large y(-x) = \frac{-x}{(-x-1)^2} = -\frac{x}{(x+1)^2}[/m]
Не четная и не нечетная. Функция общего вида.
5. Определить, является ли функция периодической или нет.
Не периодическая.
6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
Точки экстремума - это точки, в которых y'(x) = 0
[m]y'(x) = \frac{1(x-1)^2 - x \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{(x-1) - 2x}{(x-1)^3} = \frac{-x-1}{(x-1)^3} = 0[/m]
-x - 1 = 0
x = -1
При x ∈ (-oo; -1) будет y'(x) < 0, функция убывает.
При x ∈ (-1; 1) будет y'(x) > 0, функция возрастает.
При x ∈ (1; +oo) будет y'(x) < 0, функция убывает.
Точка экстремума x = -1, это точка минимума.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Точки перегиба - это точки, в которых y''(x) = 0
[m]y''(x) = \frac{-1(x-1)^3 - (-x-1) \cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6} = \frac{-1(x-1) - 3(-x-1)}{(x-1)^4}=\frac{-x+1 + 3x+3}{(x-1)^4} = \frac{2x+4}{(x-1)^4}= 0[/m]
2x + 4 = 0
x = -2
При x ∈ (-oo; -2) будет y''(x) < 0, график выпуклый вверх (выпуклый)
При x ∈ (-2; 1) будет y''(x) > 0, график выпуклый вниз (вогнутый)
При x ∈ (1; +oo) будет y''(x) > 0, график выпуклый вниз (вогнутый)
Точка перегиба x = -2
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Уравнение наклонных асимптот: f(x) = kx + b
[m]\large k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{(x-1)^2} = 0[/m]
[m]\large b = \lim \limits_{x \to \infty} y(x) - kx = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x}{(x-1)^2} = 0[/m]
Горизонтальная асимптота f(x) = 0, то есть ось Ox.
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
y(-1) = -1/(-1-1)^2 = -1/(-2)^2 = -1/4 - точка минимума.
y(-2) = -2/(-2-1)^2 = -2/(-3)^2 = -2/9 - точка перегиба.
10. Построить график и асимптоты.
График на рисунке. Обе асимптоты нарисованы зеленым.