Задача 78959 Привести уравнения кривых второго...

67445ba4b5964965cc2d059f

12/13/2024 6:24:35 PM

Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду, построить кривые, найти координаты фокусов

626fab9a354ab65fb2f43abb

12/13/2024 7:28:32 PM

★

{ x^2 + 4y^2 + 4x - 24y + 36 = 0
{ x^2 + 4x - 2y + 6 = 0
Выделяем полные квадраты:
{ (x^2 + 4x + 4 - 4) + 4(y^2 - 6y + 9 - 9) + 36 = 0
{ (x^2 + 4x + 4 - 4) - 2y + 6 = 0
Сворачиваем в квадраты суммы или разности:
{ (x + 2)^2 - 4 + 4(y - 3)^2 - 36 + 36 = 0
{ (x + 2)^2 - 4 - 2y + 6 = 0
Приводим подобные:
{ (x + 2)^2 + 4(y - 3)^2 = 4
{ (x + 2)^2 + 2 = 2y
В 1 уравнении делим левую и правую часть на 4.
Во 2 уравнении переносим 2 направо и выносим за скобки:
{ (x + 2)^2/4 + (y - 3)^2/1 = 1
{ (x + 2)^2 = 2(y - 1)
1 - уравнение эллипса с центром A(-2; 3) и полуосями a = 2; b = 1
c = sqrt(a^2 - b^2) = sqrt(2^2 - 1^2) = sqrt(3)
Координаты фокусов F1(-2 - sqrt(3); 3); F2(-2 + sqrt(3); 3)

2 - уравнение параболы с вершиной B(-2; 1) и параметром p = 1.
Координаты фокуса: F(-2; 1 + 1/2) = F(-2; 1,5)

Чертежи этих кривых смотрите на рисунке.