Задача 78956 Решите неравенства...
Условие
Решение
[m]6^{x} + \frac{1}{6^{x}} > 2[/m]
Замена y = 6^(x) > 0 при любом значении x.
y + 1/y > 2
y + 1/y - 2 > 0
Так как y ≠ 0, можно умножить на y:
y^2 - 2y + 1 . 0
(y - 1)^2 > 0
Квадрат всегда неотрицательный, поэтому это неравенство верно при любом
y > 0, кроме y = 1
y ≠ 1
6^(x) ≠ 1
x ≠ 0
Ответ: x ∈ (-oo; 0) U (0; +oo)
2) [m]2^{x^2} ≤ 4 \cdot 2^{x}[/m]
[m]2^{x^2} - 4 \cdot 2^{x} ≤ 0[/m]
Замена y = 2^(x) > 0 при любом значении x.
y^2 - 4y ≤ 0
y(y - 4) ≤ 0
y ∈ [0; 4]
Но по определению степени y = 2^(x) > 0, поэтому:
y ∈ (0; 4]
2^(x) ∈ (0; 4]
Ответ: x ∈ (-oo; 2]
3) [m]25^{x} + 5^{x+1} + 5^{1-x} + \frac{1}{25^{x}} ≤ 12 [/m]
Заметим, что:
25^(x) = (5^2)^(x) = (5^(x))^2
5^(x+1) = 5*5^(x); 5^(1-x) = 5*5^(-x) = 5/5^(x)
Подставляем:
[m](5^{x})^2 + 5*5^{x} + \frac{5}{5^{x}} + \frac{1}{(5^{x})^2} ≤ 12[/m]
Замена y = 5^(x) > 0 при любом значении x.
[m]y^2 + 5y + \frac{5}{y} + \frac{1}{y^2} ≤ 12[/m]
[m]y^2 + 5(y + \frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2} ≤ 12[/m]
Рассмотрим сумму (y + 1/y). Возведем ее в квадрат:
(y + 1/y)^2 = y^2 + 2*y*1/y + 1/y^2 = y^2 + 1/y^2 + 2
Тогда: y^2 + 1/y^2 = (y + 1/y)^2 - 2
Получаем:
[m](y + \frac{1}{y})^2 - 2 + 5(y + \frac{1}{y}) - 12 ≤ 0[/m]
Вторая замена: t = (y + 1/y)
Так как y > 0, то t ≥ 2 (смотрите 1 номер, поймете, почему.)
t^2 + 5t - 14 ≤ 0
D = 5^2 - 4*1(-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2
t1 = (-5 - 9)/2 = -7
t2 = (-5 + 9)/2 = 2
Решение: t ∈ [-7; 2], но мы знаем, что t ≥ 2.
Значит, это неравенство выполняется только при одном t = 2
Обратная замена:
y + 1/y = 2
y^2 - 2y + 1 = 0
(y - 1)^2 = 0
y = 1
Вторая обратная замена:
y = 5^(x) = 1
Ответ: x = 0
4) 2^(x) + 6*2^(-x) ≤ 7
[m]2^{x} + \frac{6}{2^{x}} ≤ 7[/m]
Замена y = 2^(x) > 0 при любом значении x.
y + 6/y - 7 ≤ 0
y^2 - 7y + 6 ≤ 0
D = (-7)^2 - 4*1*6 = 49 - 24 = 25 = 5^2
y1 = (7 - 5)/2 = 2/2 = 1
y2 = (7 + 5)/2 = 12/2 = 6
Обратная замена:
y1 = 2^(x1) = 1
x1 = 0
y2 = 2^(x2) = 6
x2 = log_2 6
Ответ: x1 = 0; x2 = log_2 6
5) 3^(x) + 10*3^(-x) ≤ 11
[m]3^{x} + \frac{10}{3^{x}} ≤ 11[/m]
Замена y = 3^(x) > 0 при любом значении x.
y + 10/y - 11 ≤ 0
y^2 - 11y + 10 ≤ 0
D = (-11)^2 - 4*1*10 = 121 - 40 = 81 = 9^2
y1 = (11 - 9)/2 = 2/2 = 1
y2 = (11 + 9)/2 = 20/2 = 10
Обратная замена:
y1 = 3^(x1) = 1
x1 = 0
y2 = 3^(x2) = 10
x2 = log_3 10
Ответ: x1 = 0; x2 = log_3 10