Задача 78901 3. Имеют ли данные системы ненулевые...

67503c59928fe31cc7aaa8bb

12/4/2024 4:53:19 PM

3. Имеют ли данные системы ненулевые решения? Найти ненулевые решения систем, если они существуют.

626fab9a354ab65fb2f43abb

12/4/2024 8:17:50 PM

★

{ 3x1 + 4x2 - 5x3 + 7x4 = 0
{ 2x1 - 3x2 + 3x3 - 2x4 = 0
{ 4x1 + 11x2 - 13x3 + 16x4 = 0
{ 7x1 - 2x2 + x3 + 3x4 = 0
Умножаем 1 уравнение на 2, а 2 уравнение на -3 и складываем их.
Умножаем 1 уравнение на 4, а 3 уравнение на -3 и складываем их.
Умножаем 1 уравнение на 7, а 4 уравнение на -3 и складываем их.
{ 3x1 + 4x2 - 5x3 + 7x4 = 0
{ 0x1 + 17x2 - 19x3 + 20x4 = 0
{ 0x1 - 17x2 + 19x3 - 20x4 = 0
{ 0x1 + 34x2 - 38x3 + 40x4 = 0
3 уравнение делим на -1, 4 уравнение делим на 2:
{ 3x1 + 4x2 - 5x3 + 7x4 = 0
{ 0x1 + 17x2 - 19x3 + 20x4 = 0
{ 0x1 + 17x2 - 19x3 + 20x4 = 0
{ 0x1 + 17x2 - 19x3 + 20x4 = 0
Получилось три одинаковых уравнения, 3 и 4 можно убрать:
{ 3x1 + 4x2 - 5x3 + 7x4 = 0
{ 0x1 + 17x2 - 19x3 + 20x4 = 0
Из 2 уравнения:
x2 = (19x3 - 20x4)/17
Подставляем в 1 уравнение:
3x1 + 4(19x3 - 20x4)/17 - 5x3 + 7x4 = 0
3x1 + (76x3 - 80x4)/17 + (-85x3 + 119x4)/17 = 0
3x1 + (76x3 - 80x4 - 85x3 + 119x4)/17 = 0
3x1 + (-9x3 + 39x4)/17 = 0
x1 = (9x3 - 39x4)/60
x1 = (3x3 - 13x4)/17

Ответ: Ненулевые решения существуют.
x3, x4 ∈ (-oo; +oo); x1 = (3x3 - 13x4)/17; x2 = (19x3 - 20x4)/17