Задача 78895 ...
Условие
1. Решите неравенство:
а) (x - 1)(2x + 7)(9 - x) ≤ 0 ;
б) (x - 7)(5 - x)(2,4 - x) < 0;
в) -3(-x + 8) (7 - x) > 0
г) [m]\frac{3x - 7}{5 - x}[/m] ≥ 0 ;
д) x(x - 19)(x + 8) ≤ 0;
ж) [m]\frac{6x + 2}{x}[/m] > 3.
Решение
а) (x - 1)(2x + 7)(9 - x) ≤ 0
У нас есть 3 особых точки: x1 = -7/2 = -3,5; x2 = 1; x3 = 9
Они делят числовую прямую на промежутки:
(-oo; -3,5]; [-3,5; 1]; [1; 9]; [9; +oo)
Поскольку неравенство не строгое (меньше или равно 0), то у чисел стоят квадратные скобки. На бесконечностях всегда ставятся круглые скобки.
Берем любое число, кроме этих трех, например, 0, и подставляем:
(0 - 1)(2*0 + 7)(9 - 0) = (-1)*7*9 < 0 - нам это подходит.
Нам не нужно вычислять, достаточно понять, какой знак.
Значит, на всём отрезке (-3,5; 1), содержащем 0, будет значение меньше 0.
А остальные значения будут через одного:
На (-oo; -3,5) - больше 0, на (1; 9) - больше 0, на (9; +oo) - меньше 0.
Здесь уже скобки круглые, потому что в самих числах -3,5; 1; 9 оно равно 0.
Ответ: x ∈ [-3,5; 1] U [9; +oo)
Остальные примеры решаются точно также, я не буду подробно расписывать, а просто укажу ответы.
б) (x - 7)(5 - x)(2,4 - x) < 0
Особые точки: 2,4; 5; 7. Промежутки: (-oo; 2,4); (2,4; 5); (5; 7); (7; +oo)
Здесь неравенство строгое, поэтому скобки будут везде круглые.
Ответ: x ∈ (-oo; 2,4) U (5; 7)
в) -3(-x + 8)(7 - x) > 0
Здесь можно разделить на -3 < 0, при этом знак неравенства поменяется:
(8 - x)(7 - x) < 0
Особые точки: 7; 8. Промежутки: (-oo; 7); (7; 8); (8; +oo)
Здесь неравенство строгое, поэтому скобки будут везде круглые.
Ответ: x ∈ (7; 8)
г) (3x - 7)/(5 - x) ≥ 0
Особые точки: 7/3 = 2 1/3; 5. Промежутки: (-oo; 7/3); (7/3; 5); (5; +oo)
Деление в таких примерах ничем не отличается от умножения.
Но надо помнить, что знаменатель не может равняться 0.
Поэтому квадратная скобка будет только у числа 7/3, а у 5 - круглая.
Ответ: x ∈ [7/3; 5)
д) x(x - 19)(x + 8) < 0
Особые точки: -8; 0; 19. Промежутки: (-oo; -8); (-8; 0); (0; 19); (19; +oo)
Здесь неравенство строгое, поэтому скобки будут везде круглые.
Ответ: x ∈ (-oo; -8) U (0; 19)
ж) (6x + 2)/x > 3
Здесь сначала надо перенести 3 налево, а справа оставить 0:
(6x + 2)/x - 3 > 0
Теперь надо свести всё выражение слева к одной дроби:
(6x + 2 - 3x)/x > 0
Приводим подобные:
(3x + 2)/x > 0
Особые точки: -2/3; 0. Промежутки: (-oo; -2/3); (-2/3; 0); (0; +oo)
Здесь неравенство строгое, поэтому скобки будут везде круглые.
Ответ: x ∈ (-oo; -2/3) U (0; +oo)