Задача 78865 Задача 3 3. В кубе [m]A...D_1[/m] все...
Условие
3. В кубе [m]A...D_1[/m] все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой DB1.
Решение
Сразу скажу - перпендикуляр из вершины B на отрезок DB1 приходит в точку H,
которая НЕ совпадает с точкой пересечения диагоналей куба DB1 и BD1.
Я не придумал другого способа, кроме метода координат.
Пусть точка D - начало координат, D(0, 0, 0), тогда:
A(0, 1, 0), B(1, 1, 0), C(1, 0, 0), A1(0, 1, 1), B1(1; 1; 1), C1(1; 0; 1); D1(0; 0; 1)
Строим уравнение прямой DB1 по двум точкам:
[m]\large \frac{x - xD}{xB1 - xD} = \frac{y - yD}{yB1 - yD} = \frac{z - zD}{zB1 - zD}[/m]
[m]\large \frac{x - 0}{1 - 0} = \frac{y - 0}{1 - 0} = \frac{z - 0}{1 - 0}[/m]
[m]\large \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}[/m]
Находим вектор BD = {xD-xB; yD-yB; zD-zB} = {0-1; 0-1; 0-0} = {-1; -1; 0}
Теперь нужно найти векторное произведение вектора BD = {-1; -1; 0}
и направляющего вектора прямой DB1 = {1; 1; 1}. Это определитель:
[m]BD × DB1 = \begin{vmatrix}
i & j & k \\
-1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= i*(-1)*1 + j*0*1 + k*(-1)*1 - i*0*1 - j*(-1)*1 - k*(-1)*1 =
= -i - k + j + k = -i + j = {-1; 1; 0}
Расстояние от точки B до прямой DB1:
[m]\large d = |BH| = \frac{|BD × DB1|}{|DB1|} = \frac{\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{\sqrt{1+1+0}}{\sqrt{1+1+1}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/m]
Ответ: [b]|BH| = sqrt(2)/sqrt(3)[/b]
Все решения
Решаем задачу на нахождение пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике (8 класс)
по формуле : BH=BD*BB1/DB1. BD=sqrt(2); BB1=1; DB1=sqrt(3). BH=sqrt(2)*1/ sqrt(3)=sqrt(6)/3 .
Ответ: Sgrt(6)/3.