Задача 78778 Найти интервал сходимости ряда 12.19....
Условие
12.19. [m]\sum_{n=1}^{\infty} 2^n x^n \arctan \frac{2x}{n+1}[/m]
Решение
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} (2^{n+1} \cdot x^{n+1} \cdot arctg\ \frac{2x}{n+2}) : (2^{n} \cdot x^{n} \cdot arctg\ \frac{2x}{n+1})[/m]
Если этот предел меньше 1, то ряд сходится.
Если этот предел больше 1, то ряд расходится.
[m]\lim \limits_{n \to \infty} (\frac{2^{n+1}}{2^{n}} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n} \cdot \frac{arctg\ \frac{2x}{n+2}}{arctg\ \frac{2x}{n+1}}) = [/m]
[m]\lim \limits_{n \to \infty} (2 \cdot x) \cdot \lim \limits_{1/n \to 0} (\frac{arctg\ \frac{2x}{n+2}}{arctg\ \frac{2x}{n+1}}) = [/m]
[m]= 2x \cdot \lim \limits_{1/n \to 0} (\frac{arctg\ \frac{2x}{n+2}}{arctg\ \frac{2x}{n+1}})[/m]
Последний предел берем по следствию из 1 Замечательного предела:
[m]\lim \limits_{z \to 0} \frac{arctg\ z}{z} = 1[/m]
[m]2x \cdot \lim \limits_{1/n \to 0} (\frac{arctg\ \frac{2x}{n+2}}{\frac{2x}{n+2}} : \frac{arctg\ \frac{2x}{n+1}}{\frac{2x}{n+1}} \cdot \frac{\frac{2x}{n+2}}{\frac{2x}{n+1}}) = [/m]
[m]=2x \cdot 1 \cdot 1 \cdot \lim \limits_{n \to \infty} (\frac{2x}{n+2} : \frac{2x}{n+1}) =[/m]
[m]= 2x \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = 2x \cdot 1 = 2x < 1[/m]
Получили неравенство:
2x < 1
x < 1/2
Радиус сходимости: (-1/2; 1/2)