Задача 78665 Дана пирамида с вершинами A(10; 10; -5),...
Условие
Решение
Найти: H(ABC)
Уравнение плоскости ABC:
[m]\begin{vmatrix}
x - xA & y - yA & z - zA \\
xB - xA & yB - yA & zB - zA \\
xC - xA & yC - yA & zC - zA \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Подставляем координаты:
[m]\begin{vmatrix}
x - 10 & y - 10 & z + 5 \\
5/3 - 10 & 50/3 - 10 & 20/3 + 5 \\
25/3 - 10 & 70/3 - 10 & 10/3 + 5 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Считаем:
[m]\begin{vmatrix}
x - 10 & y - 10 & z + 5 \\
-25/3 & 20/3 & 35/3 \\
-5/3 & 40/3 & 25/3 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Решаем определитель:
[m](x - 10) \cdot \frac{20}{3} \cdot \frac{25}{3} + (y - 10) \cdot (-\frac{5}{3}) \cdot \frac{35}{3} + (z + 5) \cdot (-\frac{25}{3}) \cdot \frac{40}{3} -[/m]
[m]- (x - 10) \cdot \frac{35}{3} \cdot \frac{40}{3} - (y - 10) \cdot \frac{25}{3} \cdot (-\frac{25}{3}) - (z + 5) \cdot \frac{20}{3} \cdot (-\frac{5}{3})= 0[/m]
[m](x - 10) \cdot \frac{500}{9} - (y - 10) \cdot \frac{175}{9} - (z + 5) \cdot \frac{1000}{9} -[/m]
[m] - (x - 10) \cdot \frac{1400}{9} + (y - 10) \cdot \frac{625}{9} + (z + 5) \cdot \frac{100}{9} = 0[/m]
Умножаем всё уравнение на 9, избавляемся от дробей:
500(x - 10) - 175(y - 10) - 1000(z + 5) - 1400(x - 10) + 625(y - 10) + 100(z + 5) = 0
-900(x - 10) + 450(y - 10) - 900(z + 5) = 0
Делим всё уравнение на -450:
2(x - 10) - (y - 10) + 2(z + 5) = 0
2x - 20 - y + 10 + 2z + 10 = 0
[b](ABC): 2x - y + 2z = 0[/b]
[b]D(15; 15; 15)[/b]
Коэффициенты:
a = 2 (коэф. при x); b = -1 (коэф. при y); c = 2 (коэф. при z); d = 0 (своб. член)
x0 = y0 = z0 = 15 (координаты точки D)
Высота тетраэдра - это расстояние от точки D до плоскости ABC.
[m]H = \frac{a \cdot x0 + b \cdot y0 + c \cdot z0 + d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \frac{2 \cdot 15 - 1 \cdot 15 + 2 \cdot 15 + 0}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} =[/m]
[m]= \frac{30 - 15 + 30}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{45}{\sqrt{9}} = \frac{45}{3} = 15[/m]
Ответ: 15