Задача 76447 ...

654f66e850c6682656d98813

3/21/2024 6:35:16 PM

Доказать, что lim_(n->∞) a_n = a (указать N(ε)).

a_n = (2n+1)/(3n-5), a = 2/3.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

3/21/2024 7:27:13 PM

★

Рассматриваем
|(2n+1)/(3n-1)-(2/3)|=|(3*(2n+1)-2*(3n-5))/(3*(3n-1)|=|(13)/(3*(3n-5)|=13/(9n-15)

найдем при каких n выполняется неравенство
|(2n+1)/(3n-1)-(2/3)|< ε

Решаем неравенство
13/(9n-15) < ε
(9n-15)/13>1/ε
9n-15>13/ε
9n > (13/ε) +15
n> (13+15 ε)/9ε
для любого ε > 0 найдется номер N_(ε)=[(13+15 ε)/9ε] +1
такой, что для всех n >N_(ε)
выполняется неравенство
|(2n-5)/(3n+1)-(2/3)|< ε

Это и означает по определению, что (2/3) является пределом