Задача 75673 Найти двойной интеграл в произвольной...
Условие
Решение
[m]D: x=1; y= \sqrt[3]{x}; y = -x^3[/m]
Смотрите рисунок. Нужная область выделена ярко красным.
По графику видно, что пределы интегрирования:
По x - от 0 до 1; по y снизу вверх - от [m]y = -x^3[/m] до [m]y = \sqrt[3]{x}[/m]
Двойной интеграл можно переписать так:
[m]\int \limits_{0}^1\ dx \int \limits_{y = -x^3}^{y = \sqrt[3]{x}} (36x^2y^2 - 96x^3y^3)\ dy[/m]
Возьмем отдельно интеграл по y:
[m]\int \limits_{y = -x^3}^{y = \sqrt[3]{x}} (36x^2y^2 - 96x^3y^3)\ dy =(36x^2 \cdot \frac{y^3}{3} - 96x^3 \cdot \frac{y^4}{4})|_{y = -x^3}^{y = \sqrt[3]{x}} =[/m]
[m]=(12x^2y^3 - 24x^3y^4)|_{y = -x^3}^{y = \sqrt[3]{x}} =[/m]
[m]= 12x^2(\sqrt[3]{x})^3 - 24x^3(\sqrt[3]{x})^4 - 12x^2(-x^3)^3 + 24x^3(-x^3)^4 =[/m]
[m]= 12x^2 \cdot x - 24x^3 \cdot x^{4/3}+12x^2 \cdot x^9 + 24x^3 \cdot x^{12} = [/m]
[m] = 12x^3 - 24x^{13/3} + 12x^{11} + 24x^{15}[/m]
Теперь берем интеграл по x:
[m]= \int \limits_{0}^1 (12x^3 - 24x^{13/3} + 12x^{11} + 24x^{15})\ dx =12 \frac{x^4}{4} - 24 \frac{x^{16/3}}{16/3} + 12 \frac{x^{12}}{12} + 24 \frac{x^{16}}{16}|_{0}^1 =[/m]
[m]=3x^4 - 24 \frac{3}{16} x^{16/3}+x^{12}+\frac{24}{16}x^{16}|_{0}^1=3x^4 - \frac{9}{2} x^{16/3}+x^{12}+\frac{3}{2}x^{16}|_{0}^1 =[/m]
[m]=3 \cdot 1^4 - \frac{9}{2} \cdot 1^{16/3} + 1^{12} + \frac{3}{2}\cdot 1^{16} - 0 = 3- \frac{9}{2} + 1 + \frac{3}{2} = 4 - \frac{6}{2} = 1[/m]
Ответ: 1