Задача 70902 y’’-2y’+y=2e^x...
Условие
Решение
Решаем однородное:
y``-2y`+y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+1=0
(k-1)^2=0
k=k_(1)= k_(2)=1 - корни кратные действительные
y=C_(1)e^(k)x)+C_(2)*x*e^(kx)
[b]y= C_(1) e^(x)+C_(2)*xe^(x)[/b] - общее решение однородного.
Решаем неоднородное.
y_(общее однород)=y_(общее однород)+y_(частн неодн)
Так как правая часть имеет "специальный вид"
f(x)=2e^(x)
тогда
y_(частное неоднородного)=Аx^2*e^(x)
потому что x=2 - корень характеристического уравнения кратности 2
y`_(частное неоднородного)=(Аx^2*e^(x))`=(2Ax)*e^(x)+(Аx^2)*e^(x)=e^(x)*(Ax^2+2Ax)
y``_(частное неоднородного)=e^(x)*(2Ax+2A)+e^(x)*(Ax^2+2Ax)=e^(x)*(Ax^2+4Ax+2A)
Подставляем в уравнение
y``-2y`+y=2e^(x)
e^(x)*(Ax^2+4Ax+2A)-2*e^(x)*(Ax^2+2Ax)+Аx^2*e^(x)=2e^(x)
Ax^2+4Ax+2A-2Ax^2-4Ax+Аx^2=2
2A=2
A=1
[b]y_(частное неоднородного)=x^2*e^(x)[/b]
О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн неодн)
⇒
y= [b]C_(1) e^(x)+C_(2)*xe^(x) +x^2*e^(x)[/b]