Задача 70753 ...
Условие
2. Пластинка D с поверхностной плотностью γ=4x ограничена кривыми x^2+y^2=4, x^2+y^2=25, x=0 (x≥0). Найти ее массу.
3.Найти объем тела, ограниченного поверхностями x^2+y^2+4x=0, z=8-y^2, z=0
4.Вычислить (фото2), где тело T определяется неравенствами 1 ≤ z^2+x^2+y^2 ≤ 9, y ≤ x,
y ≥ 0, z ≥ 0.[/b]
Решение
Точки пересечения прямой
[m]4x+4y=π[/m]
c осью Ох:
[m]y=0[/m]
⇒
[m]4x+4\cdot 0=π[/m] ⇒ [m]x=\frac{π}{4}[/m]
Область D:
[m]0 ≤ x ≤ \frac{π}{4}[/m]
[m]0 ≤ y ≤ \frac{π-4x}{4}[/m]
[m] ∫ ∫ _{D}(cos2x+siny)dxdy= ∫^{ \frac{π}{4}} _{0}dx ∫^{\frac{π-4x}{4}}_{0}(cos2x+siny)dy=[/m]
[m]=∫^{ \frac{π}{4}} _{0}((cos2x)\cdot y+cosy)|^{\frac{π-4x}{4}}_{0}dx[/m]
[m]=∫^{ \frac{π}{4}} _{0}(\frac{π-4x}{4}\cdot cos2x+cos\frac{π-4x}{4})dx=∫^{ \frac{π}{4}} _{0}(\frac{π}{4}cos2x-xcos2x+cos\frac{π-4x}{4})dx=\frac{π}{4}∫^{ \frac{π}{4}} _{0}cos2xdx-∫^{ \frac{π}{4}} _{0}x\cdot cos2xdx+∫^{ \frac{π}{4}} _{0}cos\frac{π-4x}{4}dx=[/m]
второй интеграл[i] по частям[/i][m]u=x; dv=cos2xdx ⇒ du=dx; v=\frac{1}{2}sin2x[/m]
[m]=\frac{π}{4}\cdot (\frac{1}{2}sin2x)|^{ \frac{π}{4}} _{0}-(\frac{1}{2}x\cdot sin2x)|^{ \frac{π}{4}} _{0}+\frac{1}{2}∫^{ \frac{π}{4}} _{0}sin2xdx-(sin\frac{π-4x}{4})|^{ \frac{π}{4}} _{0}=[/m]
[m]=\frac{π}{8}\cdot sin(2\cdot \frac{π}{4} )-\frac{π}{8}\cdot sin 0-(\frac{1}{2}\cdot \frac{π}{4}\cdot (2\cdot \frac{π}{4} )+\frac{1}{2}\cdot sin0+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}(-cos2x)|^{ \frac{π}{4}} _{0}-(sin0 -sin{π}{4})=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
2.
[m]m= ∫∫_{D} γ (x;y)dxdy[/m]
[m] γ =4x[/m]
[m]m= ∫∫_{D} 4xdxdy[/m]
D:
[m]4≤x^2+y^2 ≤ 25[/m]
[m]x ≥ 0[/m]
Вводим полярные координаты
[m]2 ≤ ρ ≤ 5[/m]
[m]-\frac{π}{2} ≤ θ ≤ \frac{π}{2}[/m]
[m]dxdy=ρ dρ dθ[/m]
[m]m= ∫^{5}_{2}dρ∫^{\frac{π}{2} }_{-\frac{π}{2} }4ρcos θ \cdot ρ dθ=∫^{5}_{2}(4ρ^2(sinθ)|{\frac{π}{2} }_{-\frac{π}{2} })dρ=∫^{5}_{2}(4ρ^2(sin\frac{π}{2} -sin(-\frac{π}{2} ))dρ=6(\frac{ρ^3}{3})|^{5}_{2}=2\cdot 125-8)=234[/m]
3.
[m]V= ∫ ∫ _{D}(8-y^2)dxdy[/m]
D: [m]x^2+y^2+4x=0[/m]- окружность [m](x-2)^2+y^2=4[/m]
Вводим полярные координаты
[m] ρ ^2+4 -4 cos θ cos θ=0[/m] ⇒ [m] ρ =-4 cos θ [/m]
[m]0 ≤ ρ ≤ -4 cos θ[/m]
[m]\frac{π}{2} ≤ θ ≤ \frac{3π}{2}[/m]
[m]V=∫^{\frac{3π}{2} }_{\frac{π}{2} } dθ ∫^{-4 cos θ}_{0}(8-ρ^2sin^2 θ) \cdot ρ d ρ =[/m]
[m]=∫^{\frac{3π}{2} }_{\frac{π}{2} }(8\frac{ ρ^2}{2}-sin2 θ \frac{ ρ^4 }{4} )|^{-4 cos θ}_{0}d θ =[/m]
[m]=∫^{\frac{3π}{2} }_{\frac{π}{2} }(64cos^2 θ -64cos^4 θ sin2 θ )d θ =[/m]
...
это определенный интеграл... считайте
