Задача 65055 Решить дифференциальное...

61b1f6493cb287314c36645f

12.06.2022 19:38:29

Решить дифференциальное уравнение.
y''+0.25y=0.25ctg(x/2)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

13.06.2022 08:38:15

★

Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное [/b]дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y'' + 0,25y = 0

Составляем характеристическое уравнение:

k^2 + 1/4 = 0

k_(1) = –1/2·i; k_(2) = 1/2·i - корни комплексно-сопряженные вида α + β* i
α =0
β =1/2

см. скрин 1.

Общее решение однородного уравнения:
y_(общее одн.) = C_(1)·cos(x/2) + C_(2)·sin(x/2)

Так как правая часть уравнения не имеет "специального"
вида, применяем [i]метод вариации произвольной постоянной[/i]
Константы С_(1) и С_(2) считаем функциями, зависящими от х

С_(1)(х) и С_(2)(х)


Частное решение неоднородного уравнения :

y_(частное неодн.) = C_(1)([red]x[/red])·cos(x/2) + C_(2)([red]x[/red])·sin(x/2)


Функции C_(1)(x) и С_(2)(х) находим из системы ( см. скрин 2):

[m]\left\{\begin {matrix}С`_{1}(x)\cdot cos\frac{x}{2} +C`_{2}(x)\cdot sin\frac{x}{2}=0\\С`_{1}(x)\cdot (cos\frac{x}{2})` +C`_{2}(x)\cdot (sin\frac{x}{2})`=0,25 \cdot ctg\frac{x}{2}\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}С`_{1}(x)\cdot cos\frac{x}{2} +C`_{2}(x)\cdot sin\frac{x}{2}=0\\С`_{1}(x)\cdot (-sin\frac{x}{2})\cdot (\frac{x}{2})` +C`_{2}(x)\cdot (cos\frac{x}{2})\cdot (\frac{x}{2})` =0,25\cdot ctg\frac{x}{2}\end {matrix}\right.[/m]

Решаем способом подстановки:

[m]\left\{\begin {matrix}C`_{2}(x)=-С`_{1}(x)\cdot ctg \frac{x}{2}\\-\frac{1}{2}С`_{1}(x)\cdot sin\frac{x}{2} +\frac{1}{2}\cdot (-С`_{1}(x))\cdot ctg \frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2} =0,25\cdot ctg\frac{x}{2}\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}C`_{2}(x)=-С`_{1}(x)\cdot ctg \frac{x}{2}\\-\frac{1}{2}С`_{1}(x)\cdot (sin\frac{x}{2} + ctg \frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2} )=0,25\cdot ctg\frac{x}{2}\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}C`_{2}(x)=-С`_{1}(x)\cdot ctg \frac{x}{2}\\-\frac{1}{2}С`_{1}(x)\cdot (sin\frac{x}{2} +\frac{cos \frac{x}{2}}{sin \frac{x}{2}}\cdot cos\frac{x}{2} )=0,25\cdot ctg\frac{x}{2}\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}C`_{2}(x)=-С`_{1}(x)\cdot ctg \frac{x}{2}\\-\frac{1}{2}С`_{1}(x)\cdot (\frac{sin^2 \frac{x}{2}+cos^2 \frac{x}{2}}{sin \frac{x}{2}})=0,25\cdot ctg\frac{x}{2}\end {matrix}\right.[/m]



[m]\left\{\begin {matrix}C`_{2}(x)=-С`_{1}(x)\cdot ctg \frac{x}{2}\\С`_{1}(x)=-\frac{1}{2} \cdot cos\frac{x}{2} \end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}C`_{2}(x)=-С`_{1}(x)\cdot ctg \frac{x}{2}\\С_{1}(x)=-\frac{1}{2} \cdot ∫ cos\frac{x}{2}dx \end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}C`_{2}(x)=-cos \frac{x}{2}\\С_{1}(x)=-sin \frac{x}{2} \end {matrix}\right.[/m]

y_(частное неодн.) =[m]- sin\frac{x}{2} cos\frac{x}{2}-cos \frac{x}{2}\cdot sin\frac{x}{2}[/m]

y_(частное неодн.) =[m]-2sin\frac{x}{2} cos\frac{x}{2}[/m]

y_(частное неодн.) =[b]- sin x[/b]


y_(общее неодн)=y_(общее одн)+y_(частное неодн.) =C_(1)·cos(x/2) + C_(2)·sin(x/2)[b]- ·sin x[/b]

626fab9a354ab65fb2f43abb

12.06.2022 21:10:53

y'' + 0,25y = 0,25*ctg(x/2)
Линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем сначала однородное уравнение:
y'' + 0,25y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 1/4 = 0
k1 = -1/2*i; k2 = 1/2*i
Решение однородного уравнения:
y0 = C1*sin(x/2) + C2*cos(x/2)
Ищем частное решение неоднородного уравнения:
Предположим, что:
[m]y*[/m] = sin(x/2)*A(x)
Где A(x) - это какая-то функция, пока нам неизвестная.
На самом деле я не знаю, как найти функцию A(x).
С помощью Вольфрам Альфа я нашел, что:
[m]y*[/m] = sin(x/2)*ln |tg(x/4)|
Таким образом, полное решение этого уравнения:
y(x) = y0 + [m]y*[/m]
y(x) = C1*sin(x/2) + C2*cos(x/2) + sin(x/2)*ln |tg(x/4)|