Задача 65052 Найти предел функции, не используясь...

62a0dbd772b82c17d138eca1

12.06.2022 17:18:41

Найти предел функции, не используясь правилом Лопиталя

626fab9a354ab65fb2f43abb

12.06.2022 20:15:51

а) [m]\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^5 - x + 4}{2x^2(x^3 + x - 1)} = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^5 - x + 4}{2x^5 + 2x^3 - 2x^2} = [/m]
[m] = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^5(1 - 1/x^4 + 4/x^5)}{x^5(2 + 2/x^2 - 2/x^3)} = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1 - 1/x^4 + 4/x^5}{2 + 2/x^2 - 2/x^3} =\frac{1 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{1}{2}[/m]

б) [m]\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{arcsin(3x)}{sin(5x)}[/m]
По 1 Замечательному пределу и следствию из него:
[m]\lim \limits_{z \rightarrow 0} \frac{sin(z)}{z} = 1[/m]
[m]\lim \limits_{z \rightarrow 0} \frac{arcsin(z)}{z} = 1[/m]
Поэтому преобразуем так:
[m]\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{arcsin(3x)}{sin(5x)} = \lim \limits_{x \rightarrow 0} (\frac{arcsin(3x)}{3x}*\frac{5x}{sin(5x)}*\frac{3x}{5x} )= [/m]
[m]= 1*1*\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}[/m]