Задача 64228 sin^4 x + cos^4 x +cos2x=0.5 почему...
Условие
Решение
Все решения
[m](sin^2x+cos^2x)^2=sin^4x+2sin^2x*cos^2x+cos^4x[/m]
[m]1=sin^4x+2sin^2x*cos^2x+cos^4x[/m]
[m]sin^4x+cos^4x=1-2sin^2x*cos^2x[/m]
[m]sin^4x+cos^4x=1-\frac{sin^2x}{2}[/m]
Уравнение принимает вид
[m]1-\frac{sin^2x}{2}+cos2x=0.5[/m]
так как [m]sin^22x=1-cos^22x[/m]
[m]1-\frac{1-cos^2x}{2}+cos2x=0.5[/m]
умножаем на 2:
[m]2-1+cos^2x+2cos2x=1[/m]
[m]2co2x+cos^22x=0[/m]
[m]cos2x\cdot (2+cos2x)=0[/m]
[m]cos2x=0[/m] или [m] 2+cos2x=0[/m]
[m]cos2x=0[/m] ⇒ [m]2x=\frac{π}{2}+πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
[m]x=\frac{π}{4}+\frac{π}{2}n, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
[m] 2+cos2x=0[/m] ⇒ [m] cos2x=-2[/m] - уравнение не имеет корней, так как -1 ≤ cos2x ≤ 1 и не принимает значения (-2)
О т в е т. [m]\frac{π}{4}+\frac{π}{2}n, n ∈ [/m] [b]Z[/b]