Задача 64026 Решить интеграл методом подстановки и...
Условие
Решение
∫ ∛du= [m]\frac{u^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}+C[/m]
u=sin2x
Найдем
du=(sin2x+1)`dx=cos2x*(2x)`dx=[b]2[/b]cos2xdx
Выражение стоящее под знаком интеграла после корня немного не дотягивает до дифференциала подкоренной функции u
Не хватает двойки
Надо умножить подинтегральную функцию на 2 и разделить на 2 ( умножать и делить можно [b]только[/b] на число)
Получаем решение
[m] ∫ \sqrt[3]{sin2x+1}cos2xdx=\frac{1}{2}\sqrt[3]{sin2x+1}\cdot 2\cdot cos2xdx=\frac{1}{2}\sqrt[3]{sin2x+1}d(sin2x+1)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(sin2x+1)^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}+C =[/m]
[m]=\frac{3}{8}\sqrt[3]{(sin2x+1)^4}+C[/m]
2.
u=log_(3)x
dv=(x^2-1)dx
Находим
du=(log_(3)x)`dx=[m]\frac{1}{x\cdot ln3}dx[/m]
v= ∫ dv= ∫ (x^2-1)dx=(x^3/3)-x
По формуле интегрирования по частям
[r]∫ udv=u*v- ∫ vdu[/r]
∫ (x^2-1)*log_(3)xdx= [m]log_{3}x(\frac{x^3}{3}-x)- ∫ (\frac{x^3}{3}-x)\cdot\frac{1}{x\cdot ln3}dx=[/m]
[m]=log_{3}x(\frac{x^3}{3}-x)- \frac{1}{ln3} ∫ (\frac{x^2}{3}-1)dx=log_{3}x(\frac{x^3}{3}-x)- \frac{1}{ln3} \cdot ( \frac{x^3}{9}-x)+C[/m]