Задача 63880 Найти уравнения касательной плоскости и...

61499cc87c1408291d4044fd

04.04.2022 09:56:57

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности ???? в точке ????0 (????0; ????0; ????0) и изобразить на чертеже: x2+5y2+z2=10 M0(1; –1; 2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

04.04.2022 11:50:26

★

Функция задана неявно в виде F(x;y;z)=0
x^2+5y^2+z^2-10=0

F(x;y:z)=x^2+5y^2+z^2-10

F`_(x)=2x
F`_(y)=10y
F`_(z)=2z

Вычисляем значения частных производных точке M(1;-1;2)

F`_(x)(M)=2*1=2
F`_(y)(M)=10*(-1)=-10
F`_(z)(M)=2*2=4

Подставляем в формулы и получаем уравнения

( см. скрин)

2*(x-1)-10*(y+1)+4*(z-2)=0

2x-10y+4z-20=0

x-5y+2z-10=0- уравнение касательной плоскости


[m]\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-10}=\frac{z-2}{4}[/m]- уравнение нормали



Уравнение:
x^2+5y^2+z^2=10 - это уравнение эллипсоида


[m]\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{10}=1[/m]


Точка M_(o)(1;-1;2) находится на поверхности эллипсоида, так как ее координаты удовлетворяют уравнению

1^2+5*(-1)^2+2^2=10


Нормаль- прямая, перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку M_(o)