Задача 63804 ...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x > 0\\lg^2x+4lgx ≠0 ⇒lgx ≠0 ... и... lgx ≠-4 \end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x > 0\\x ≠10^{0} ... и... x ≠10^{-4} \end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x > 0\\x ≠1... и... x ≠0,0001 \end {matrix}\right.[/m]
ОДЗ:
[red] [m]x ∈ (0; 0,0001)\cup(0,0001;1)\cup(1;+ ∞)[/m] [/red]
[red]Замена переменной[/red]:
[m]lg^2x+4lgx=t[/m]
Неравенство принимает вид:
[m]\frac{12}{t^2}+\frac{7}{t}+1 ≥ 0[/m]
[m]\frac{12+7t+t^2}{t^2} ≥ 0[/m]
D=49-48
[m]\frac{(t+3)(t+4)}{t^2} ≥ 0[/m]
____+___ [-4] __-____ [-3] ______+_____ (0) ____+____
t ≤ -4 или -3 ≤ t<0 или t >0
Обратный переход к переменной х:
[m]lg^2x+4lgx ≤ -4 [/m] ИЛИ [m]-3 ≤lg^2x+4lgx<0[/m] ИЛИ [m]lg^2x+4lgx >0[/m]
[m]lg^2x+4lgx +4 ≤ 0 [/m] ИЛИ [m]\left\{\begin {matrix}lg^2x+4lgx ≥-3 \\lg^2x+4lgx<0 \end {matrix}\right.[/m]ИЛИ [m]lgx(lgx+4) >0[/m]
[m]lg^2x+4lgx +4 ≤ 0 [/m] ⇒ [m](lgx+2)^2 ≤ 0 [/m] ⇒ [m]lgx+2= 0 [/m] ⇒[m] x=10^{-2}[/m] ⇒[blue] [m] x=0,01[/m] [/blue]
ИЛИ
[m]\left\{\begin {matrix}lg^2x+4lgx +3≥0 \\lg^2x+4lgx<0 \end {matrix}\right.[/m] ⇒ D=16-12=4[m]\left\{\begin {matrix}(lgx+1)(lgx+3)≥0 \\lgx(lgx+4)<0 \end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]-4<lgx ≤ -3[/m] или [m]-1 ≤ lgx <0[/m] ⇒
[blue][m]0,0001<x ≤ 0,001[/m] или [m]0,1 ≤ x <1[/m] [/blue]
ИЛИ
[m]lgx(lgx+4) >0[/m] ⇒[blue][m] x<0,0001[/m] [/blue] или [blue] [m] x>1[/m][/blue]
Объединяем ответы с учетом ОДЗ:[red] [m]x ∈ (0; 0,0001)\cup(0,0001;1)\cup(1;+ ∞)[/m] [/red]
О т в е т. [b][m](0;0,0001)\cup (0,0001;0,001]\cup[/m]{0,01}[m]\cup[0,1;1)\cup(1;+ ∞ )[/m][/b]