Задача 63500 Решите пример ...
Условие
Решение
[m]dz=\frac{ ∂z }{ ∂x }dx+\frac{ ∂z }{ ∂y }dy[/m]
Находим частные производные
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(ln(tg\frac{y}{x}))`_{x}=\frac{1}{tg\frac{y}{x}}\cdot (tg\frac{y}{x})`_{x}=\frac{1}{tg\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{cos^2\frac{y}{x}} \cdot (\frac{y}{x})`_{x}=\frac{1}{tg\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{cos^2\frac{y}{x}} \cdot y\cdot (\frac{1}{x})`_{x}=\frac{1}{tg\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{cos^2\frac{y}{x}} \cdot y\cdot (-\frac{1}{x^2})[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=(ln(tg\frac{y}{x}))`_{y}=\frac{1}{tg\frac{y}{x}}\cdot (tg\frac{y}{x})`_{y}=\frac{1}{tg\frac{y}{x}}\cdot \frac{1}{cos^2\frac{y}{x}} \cdot (\frac{1}{x})\cdot (y)`_{y}=\frac{1}{tg\frac{y}{x}}\cdot \frac{1}{cos^2\frac{y}{x}} \cdot (\frac{1}{x})[/m]
О т в е т.
[m]dz=\frac{1}{tg\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{cos^2\frac{y}{x}} \cdot y\cdot (-\frac{1}{x^2})dx+\frac{1}{tg\frac{y}{x}}\cdot \frac{1}{cos^2\frac{y}{x}} \cdot (\frac{1}{x})dy[/m]
Можно упростить и вынести общий множитель за скобки:
[m]dz=\frac{1}{tg\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{cos^2\frac{y}{x}} \cdot (-\frac{y}{x^2}dx+\frac{1}{x}dy)[/m]