Задача 62429 К кривой x^(2)-6xy+9y^(2)-12x+4y+20=0...
Условие
Решение
2x-6y-6x*y`+18y*y`-12+4y`+0=0
Делим на 2
x-3y-3x*y`+9y*y`-6+2y`=0
y`=(x-3y-6)/(3x-9y-2)
Касательная, параллельна прямой x–2y+7=0
y=(1/2)x+(7/2)
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты
k=(1/2)
Пусть (x_(o);y_(o)) - точка касания
Геометрический смысл производной в точке:
y`(x_(o);y_(o))=1/2
Подставляем координаты точки касания (x_(o);y_(o)) в производную y`=(x-3y-6)/(3x-9y-2)
получаем
(x_(o)-3y_(o)-6)/(3x_(o)-9y_(o)-2)=1/2- уравнение связывающее координаты точки касания x_(o) и y_(o)
Второе уравнение получаем подставив координаты точки касания (x_(o);y_(o)) в уравнение кривой
{(x_(o)-3y_(o)-6)/(3x_(o)-9y_(o)-2)=1/2
{x_(o)^2–6x_(o)y_(o)+9y_(o)^2–12x_(o)+4y_(o)+20=0
Из системы находим координаты точки касания
{2(x_(o)-3y_(o)-6)=3x_(o)-9y_(o)-2 ⇒ 4x_(o)-6y_(o)-12=3x_(o)-9y_(o)-2 ⇒ x_(o)=10-3y_(o) и подставляем во второе уравнение
{(10-3y_(o) )^2–6*(10-3y_(o) )*y_(o)+9y_(o)^2–12*(10-3y_(o)) +4y_(o)+20=0 ⇒ 36y^2_(o)-80y_(o)=0 ⇒
y_(o)=0 или y_(o)=20/9
x_(o)-10 или y_(o)=30/9
Составляем уравнение касательной к кривой в точке (0;0)
y-0=(1/2)*(x-0) ⇒ [b]y=(1/2)x[/b]
Составляем уравнение касательной к кривой в точке (20/9;30/9)
y-(30/9)=(1/2)*(x-(20/9))
[b]y=(1/2)*x+(20/9)[/b]
О т в е т. [b]y=(1/2)x[/b]; [b]y=(1/2)*x+(20/9)[/b]