Задача 61272 Рябушко 2 часть, Идз 11.1 вариант...
Условие
4.1
(x^2+1)y’c+4xy = 3
Решение
Получаем линейное уравнение первого порядка:
[m] y`+\frac{4x}{x^2+1}y=\frac{3}{x^2+1}[/m]
Решаем методом Бернулли.
Пусть y=u*v
Тогда
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в данное уравнение
[m] u`v+uv`+\frac{4x}{x^2+1}\cdot uv=\frac{3}{x^2+1}[/m]
Группируем:
[m] u`v+(uv`+\frac{4x}{x^2+1}\cdot uv)=\frac{3}{x^2+1}[/m]
[m] u`v+u\cdot (v`+\frac{4x}{x^2+1}\cdot v)=\frac{3}{x^2+1}[/m]
Полагаем выражение в скобках равным 0
Получаем два уравнения с разделяющимися переменными:
1)
[m](v`+\frac{4x}{x^2+1}\cdot v)[/m]
2)
[m] u`v=\frac{3}{x^2+1}[/m]
Решаем первое:
[m]\frac{dv}{v}=-\frac{4x}{x^2+1}dx)[/m] ⇒ [m] ∫ \frac{dv}{v}=- ∫ \frac{4x}{x^2+1}dx)[/m]
[m]lnv=-2ln(x^2+1)[/m] ⇒ [m]v=\frac{1}{(x^2+1)^2}[/m]
Решаем второе:
[m] u`v=\frac{3}{x^2+1}[/m]
[m] u`\frac{1}{(x^2+1)^2}=\frac{3}{x^2+1}[/m]
[m] u`=3(x^2+1)[/m]
[m]u= ∫ 3(x^2+1)dx[/m]
[m]u=x^3+3x+C[/m]
Тогда
[m]y=uv[/m]
[m]y=(x^3+3x+C)\cdot\frac{1}{(x^2+1)^2} [/m]
Начальное условие
y(0)=0
получаем
[m]0=(0^3+3\cdot 0+C)\cdot\frac{1}{(0^2+1)^2} [/m] ⇒ [m]C=0[/m]
О т в е т. [m]y=(x^3+3x)\cdot\frac{1}{(x^2+1)^2} [/m]