Задача 60850 ...
Условие
Решение
Это однородное уравнение вида [m] y`= φ (\frac{y}{x})[/m]
Решается подстановкой
[m] \frac{y}{x}=u[/m] ⇒ [m] y=xu[/m]
⇒ [m] y`=x`u+xu`[/m]
x`=1 так как х независимая переменная
[m] y`=u+xu`[/m]
Подставляем в уравнение:
[m] u+xu`= \frac{\sqrt{x^2+(xu)^2}+xu}{x}[/m]
[m] u+xu`= \frac{x\sqrt{1+u^2}+xu}{x}[/m]
[m] u+xu`= \frac{x(\sqrt{1+u^2}+u)}{x}[/m]
[m] u+xu`= \sqrt{1+u^2}+u[/m]
[m] xu`= \sqrt{1+u^2}[/m]- уравнение с разделяющимися переменными
[m]\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}= \frac{dx}{x}[/m]
Интегрируем
[m] ∫ \frac{du}{\sqrt{1+u^2}}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]
[m]ln|u+\sqrt{1+u^2}|=ln|x|+ lnC[/m]
[m]ln|u+\sqrt{1+u^2}|=lnC|x|[/m]
[m]u+\sqrt{1+u^2}=Cx[/m]
[m] u= \frac{y}{x}[/m] ⇒
[m]\frac{y}{x}+\sqrt{1+(\frac{y}{x})^2}=Cx[/m]