Задача 58473 ...

5f63199b17ff200ecc21eb66

11.03.2021 10:16:56

Докажите,что четырехугольник АВСD-прямоугольник,и найдите точку пересечения очей его симметрии,если А(-1;5;-4),В(3;2;4),С(6;-2;1),D(2;1;-7)​

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11.03.2021 11:39:34

★

четырехугольник АВСD–прямоугольник, если это параллелограмм, все углы которого прямые.

1) доказываем параллельность сторон

Для этого находим векторы:
vector{AB}=(3-(-1);2-5;4-(-4))=(4;-3;8)
vector{CD}=(2-6;1-(-2);-7-1)=(-4;3;-8) ⇒ vector{DC}=-vector{CD}=(4;-3;8)

vector{AB}=vector{DC} ⇒ AB || DC


vector{AD}=(2-(-1);1-5;-7-(-4))=(3;-4;-3)

vector{BC}=(6-3;-2-2;1-4)=(3;-4;-3)

vector{AD}= vector{BC} ⇒ AD || BC




2)
Доказываем наличие прямых углов.

Для этого находим скалярные произведения векторов. Если скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, то векторы ортогональны.

vector{AB}*vector{BC} =4*3+(-3)*(-4)+8*(-3)=12+12-24=0

[b]vector{AB} ⊥ vector{BC}[/b]

AD || BC
[b]vector{AB} ⊥ vector{AD}[/b]


DC || AB ⇒ DC ⊥ BC и DC ⊥ AD



3) точка О- точка пересечения диагоналей - центр симметрии.

О- середина АС

O ( (-1+6)/2; (5-2)/2;(-4+1)/2)=O[b](2,5; 1,5; -1,5)[/b]