Задача 58170 Подведение под знак дифференциала и...

60044b69960c3c35933dfafa

28.02.2021 19:05:10

Подведение под знак дифференциала и введение новой переменной.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.02.2021 20:34:30

★

Замечаем, что [m]\frac{1}{cos^2x}[/m] это производная [m]tgx[/m]

или даже [m] 1+tgx[/m]

Поэтому

[m]d(1+tgx)=(1+tgx)`dx=\frac{1}{cos^2x}dx[/m]

Значит,

[m] ∫ \frac{dx}{cos^2x\sqrt{1+tgx}}=∫ \frac{d(1+tgx)}{\sqrt{1+tgx}}=[/m]

Это табличный интеграл [m] ∫ \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}+C[/m]

[m]=2\sqrt{1+tgx}+C[/m] - это о т в е т.




По формуле

[m]∫ \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}+C[/m] можно вычислять не только этот интеграл, но и интегралы c различными функциями u

НО в таких интегралах:

[m]∫ \frac{d(1+tgx)}{\sqrt{1+tgx}} [/m]

упрощают дифференциал

и потому получают громоздкие выражения:

[m] ∫ \frac{dx}{cos^2x\sqrt{1+tgx}}[/m]


Задача подвести под дифференциал, т.е свести к табличному....