Задача 58044 [m](x-a)^2(a(x-a)^2-a-1) =-1[/m] Нужно...
Условие
Нужно выйти все значения a при которых положительных корней больше чем отрицательных. Вроде бы понятно, что нужно сделать замену, но т.к там [b]a[/b] нормально исследовать не получается. В конце у меня получилось
[m]at^2-t(a+1)+1=0[/m]
И осталось два случая:
0<a<t - t превращается в иксы с разными знаками и
0<t<a - t превращается в два положительных корня
А найти хоть какую-то зависимость a от t я не смог
Решение
[m](x-a)^2=t[/m] ⇒[red] t ≥ 0[/red]
[m]at^2−(a+1)t+1=0[/m] - квадратное уравнение с параметром. [i]Его и надо исследовать.[/i]
D=(a+1)^2-4a=a^2+2a+1-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2
[m]t_{1}=\frac{a+1-(a-1)}{2a}=\frac{1}{a}[/m] или [m] t_{2}=\frac{a+1+(a-1)}{2a}=1[/m]
Обратный переход:
[m](x-a)^2=\frac{1}{a}[/m] - уравнение не имеет корней при a ≤ 0
и имеет два корня, при a>0: [m] |x-a|=\frac{1}{\sqrt{a}}[/m] ⇒ [m] x-a=\pm\frac{1}{\sqrt{a}}[/m]⇒
[m] x_{1,2}=a\pm\frac{1}{\sqrt{a}}[/m]
ИЛИ
[m](x-a)^2=1[/m]⇒[m](x-a)= ± 1[/m] ⇒[m]x=a ± 1[/m]
[m]x_{3,4}=a ± 1[/m]
Получили задачу на расположение [b]четырех[/b] чисел на прямой
Рассматриваем несколько вариантов.