Задача 57851 Как можно решить данный...

6023d6c43cfdeb46290c785d

11.02.2021 18:27:07

Как можно решить данный параметр?
[m]\log^2_{14}x-(18a+5)\log_{14}x+81a^2+45a+6=0[/m]
Нужно найти два различных корня, среднее арифметческое которых равно 105
Дошел до корней.
[m]D=49\\
\log_{14}x=\frac{18a+5\pm7}{2}[/m]
Но дальше незнаю как из логарифма получить x. Если решать напрямую и убирать логарифм добавлением корня в степень 14, то получается очень странное уравнение по типу
[m]x^2-210x+14^{18a+5}=0[/m]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11.02.2021 19:11:59

★

Решаю уравнение методом замены переменной:

[m]log_{14}x=t[/m]

[m]t^2-(18a+5)t+81a^2+45a+6=0[/m]

[b]D=1[/b]

[m]t_{1}=9a+2[/m] или [m]t_{2}=9a+3[/m]


Обратный переход


[m]log_{14}x=9a+2[/m] или [m]log_{14}x=9a+3[/m]


[m]x_{1}=14^{9a+2}[/m] или [m]x_{2}=14^{9a+3}[/m]


По условию

[m]\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=105[/m] ⇒


[m]\frac{14^{9a+2}+14^{9a+3}}{2}=105[/m] ⇒


[m]14^{9a+2}\cdot (1+14)=210[/m]

[m]14^{9a+2}\cdot (15)=210[/m]

[m]14^{9a+2}=14[/m]

[m]14^{9a+2}=14[/m]

[m]9a+2=1[/m]

[m]a=-\frac{1}{9}[/m]