Задача 56143 Найти частное решение дифференциального...
Условие
y’’+2y’+5y=13e^2x
y(0)=1
y’(0)=9
Решение
Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
y’’+2y’+5y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+2k+5=0
D=4-20=–16
k_(1)=(–2–4*i)/2 ; k_(2)=(–2+4*i)/2 корни комплексные сопряженные
k_(1)=-1-2*I ; k_(2)=-1+2*i
корни комплексно- сопряженные
α=-1; β=2
Общее решение однородного имеет вид:
y_(общее одн.)=e^(-x)*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x
Правая часть
f(x)=e^(2x)
имеет "специальный" вид
поэтому
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част неодн) =A*e^(2x)
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част неодн)=(A*e^(2x))`=2*A*e^(2x)
y``_(част неодн)=(2*A*e^(2x))`=4*A*e^(2x)
подставляем в данное уравнение:
4*A*e^(2x) +2*(2*A*e^(2x))+5*(A*e^(2x))=13e^(2x)
13A^e^(2x)=13e^(2x)
A=1
y_(общее неодн.)=y_(общее одн.)+y_(част неодн)=e^(-x)*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x)+e^(2x)
Решение задачи Коши:
y(0)=1
y`(0)=9
y`_(общее неодн)=(e^(-x)*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x)+e^(2x))`=(e^(-x))`*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x)+(e^(-x)*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x)`+(e^(2x))`
y`_(общее неодн)=e^(-x) *(-1)*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x+e^(-x)*(2C_(1)*cos2x-2C_(2)*sin2x))+2e^(2x)
y`_(общее неодн)=e^(-x) *((-С_(1)-2C_(2))·sin2x+(C_(2)+2C_(1))·cos2x)+2e^(2x)
y(0)=1
y`(0)=9 ⇒
x=1
y=1
y`=9
подставляем в y=e^(-x)*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x)+e^(2x) и в y`_(общее неодн)=e^(-x) *((-С_(1)-2C_(2))·sin2x+(C_(2)+2C_(1))·cos2x)+2e^(2x)
так как e^(-0)=1; e^(2*0)=1
sin0=0
cos0=1
получаем систему
{1=С_(1)*0+C_(2)·cos0+1 ⇒ [b]C_(2)=2[/b]
{9=C_(2)+2C_(1)+2
[b]C_(1)=2,5[/b]
y=e^(-x)*(2,5·sin2x+2·cos2x)+e^(2x)- частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям