Задача 56018 ...
Условие
Лопиталя
Γ) lim (1 + tg^2 x)^(3/x^2) x→0;
Д) lim (sin 2πx / sin 5πx) x→1.
Решение
Второй замечательный предел и следствия из него.
[m] lim_{x → 0}(1+ α (x))^{\frac{1}{ α(x) }}=e[/m]
tg^2x= α (x)
[m] lim_{x → 0}((1+ tg^2x)^{\frac{1}{ tg^2x }})^{\frac{3tg^2x}{x^2}}=e^{ lim_{x → 0}\frac{3tg^2x}{x^2}}=e^{3}[/m]
д)
Замена переменной
x-1=t
x=t+1
[m] lim_{x → 1}\frac{sin2πx}{sin5πx}=lim_{t → 0}\frac{sin2π\cdot (t+1)}{sin5π\cdot (t+1)}=lim_{t → 0}\frac{sin(2πt+2π)}{sin (5πt+5π)}=[/m]
по формулам приведения
[m]sin(2πt+2π)=sin2πt[/m]
[m]sin(5πt+5π)=-sin5πt[/m]
[m]=lim_{t → 0}\frac{sin2πt}{sin5πt}=[/m]
применяем эквивалентные бесконечно малые
[m]=lim_{t → 0}\frac{2πt}{-5πt}=-\frac{2}{5}[/m]