Задача 55569 Известно, что f(x) — многочлен степени n...

5f42a255b5ac0b3cc606fbf7

13.11.2020 19:54:16

Известно, что f(x) — многочлен степени n и при всех значениях переменной х выполняется равенство f(x) = f(-x). Докажите:
1) n — четное натуральное число или нуль;
2) коэффициенты многочлена f(x) при нечетных степенях x равны 0.

При каких значениях a и с многочлен f(x) делится на многочлен h(x):
1) f(x) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + c, h(x) = x^2 - 3x + 2;
2) f(x) = x^4 - 2x^3 + ax + 2, h(x) = x^2 + x + c?

5f3ea7e3faf909182968ddd9

13.11.2020 23:00:33

★

f(x):h(x)=g(x) ⇒ f(x)=h(x)*g(x)

1)
x^4-3x63+3x^2+ax+c=(x^2-3x+2)*(x^2+px+q)

Раскрываем справа скобки:

x^4-3x^3+3x^2+ax+c=x^4-3x^3+2x^2+px^3-3px^2+2px+q*x^2-3qx+2q

приводим многочлен к стандартному виду:

x^4-3x^3+3x^2+ax+c=x^4-(3-p)x^3+(2-3p+q)x^2+(2p-3q)x+2q


Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной:

-3=-(3-p)
3=2-3p+q
a=2p-3q
c=2q

решаем систему 4-х уравнений с четырьмя переменными.

p=0
q=1
a=2*0-3*1=-3
c=2*1=2