Задача 53656 2. Найти производные следующих функций: ...
Условие
a) [m] y = 3 \sqrt[5]{\frac{x+1}{(1-2x)^3}} [/m]
б) [m] y = \frac{1}{2}arc \ tg \ \frac{e^x - 3}{2} [/m]
в) [m] y = \frac{1}{3}cosh x [/m]
г) [m] x^2y^2 + 2ln(xy) = 4 [/m]
д) [m] x = arcsin(sint), \ y = arccos(cost) [/m]
Вопрос 1
3. Привести полное исследование и построить график функции: [m] y = \frac{x^3 - 4x}{3x^2 - 4} [/m]
4. Найти неопределенные интегралы:
a) [m] \int \frac{dx}{\sqrt{2 - 5x}} [/m]
б) [m] \int x \ ln^2 \ xdx [/m]
в) [m] \int \frac{x^3 + 4x^2 + 3x + 2}{(x+1)^2(x+2)}dx [/m]
5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: [m] y = 4 - x^2, \ y = 0,5x + 1 [/m]
6. Найти частные производные первого порядка функции: [m] z = ln \ (y^2 - e^{-x}) [/m]
7. Найти частное решение дифференциального уравнения:
[m] (x^2 + 1) \frac{dy}{dx} + 4xy = 3, \ y(0) = 0. [/m]
Решение
5.
Находим абсциссы точек пересечения графиков:
4-x^2=0,5x+1
x^2+0,5x-3=0
2x^2+x-6=0
D=1-4*2*(-6)=49
x_(1)=(-1-7)/4=-2; x_(2)=(-1+7)/4=1,5
[m]S=\int^{1,5}_{-2}(4-x^2-0,5x-1)dx=\int^{1,5}_{-2}(3-x^2-0,5x)dx=(3x-\frac{x^3}{3}-0,5\frac{x^2}{2})|^{1,5}_{-2}=[/m]
[m]=(3\cdot 1,5-\frac{1,5^3}{3}-\frac{1,5^2}{4})-(3\cdot (-2)-\frac{(-2)^3}{3}-\frac{(-1,5)^2}{4})=...[/m] считайте.
6.
[m]z`_{x}=\frac{(y^2-e^{-x})`_{x}}{y^2-e^{-x}}=\frac{0-e^{-x}\cdot (-x)`}{y^2-e^{-x}}=\frac{-e^{-x}\cdot (-1)}{y^2-e^{-x}}=\frac{e^{-x}}{y^2-e^{-x}}[/m]
[m]z`_{y}=\frac{(y^2-e^{-x})`_{y}}{y^2-e^{-x}}=\frac{2y-0}{y^2-e^{-x}}=\frac{2y}{y^2-e^{-x}}[/m]
7.
[m](x^2+1)y`+4xy=3[/m]
Делим на [m](x^2+1)[/m]
Линейное уравнение:
[m]y`+\frac{4x}{x^2+1}y=\frac{3}{x^2+1}[/m]
Решаем методом Бернулли.
Решение находим в виде произведения двух функций:
[m]y(x)=u(x)\cdot v(x)[/m] ⇒ [m]y`=u`v+uv`[/m]
[m]u`v+uv`+\frac{4x}{x^2+1}uv=\frac{3}{x^2+1}[/m]
Группируем:
[m]u`v+(uv`+\frac{4x}{x^2+1}uv)=\frac{3}{x^2+1}[/m]
Функции u и v - произвольные, поэтому выбираем их так, чтобы:
[m](uv`+\frac{4x}{x^2+1}uv)=0[/m]
тогда
[m]u`v=\frac{3}{x^2+1}[/m]
Получили два уравнения с разделяющимися переменными
[m](uv`+\frac{4x}{x^2+1}uv)=0[/m] ⇒ [m]\int \frac{dv}{v}=-4\int \frac{x}{x^2+1}dx[/m]
[m]\int \frac{dv}{v}=-4\int \frac{x}{x^2+1}dx[/m]
[m]ln|v|=-2ln|x^2+1|[/m] ( С считаем равным 0)
[m] v=\frac{1}{(x^2+1)^2}[/m]
[m]u`v=\frac{3}{x^2+1}[/m]
[m]u`\frac{1}{(x^2+1)^2}=\frac{3}{x^2+1}[/m]
[m]u`=3\cdot (x^2+1)[/m]
[m]u=\int(3\cdot (x^2+1))dx=x^3+3x+C[/m]
[m]y=(x^3+3x+C)\cdot \frac{1}{(x^2+1)^2}[/m] - общее решение
При x=0; y=0
[m]0=C[/m]
[m]y=(x^3+3x)\cdot \frac{1}{(x^2+1)^2}[/m] -частное решение ( решение задачи Коши)