Задача 53462 ...
Условие
Узнавание
1. Что такое дифференцирование?
2. Производная функции в точке?
3. Всякая ли функция дифференцируема?
Понимание
40.2. Найдите Δx и Δf в точке с абсциссой x₀ и отношение Δf/Δx:
1) f(x) = 5x - x², x₀ = 5,2, x = 5,3;
2) f(x) = x + 2x² - 1. x₀ = -6,4, x = -6,5;
Применение
40.4. Точка движется по прямой по закону s = t⁴ + 2t² + 3, где длина пути s измеряется в сантиметрах, время t — в секундах. Найдите среднюю скорость на промежуток времени от t₁ = 1 до t₂ = 1 + Δt, считая Δt = 0,5; 0,2; 0,1.
Анализ
40.9. Точка движется по координатной прямой и ее координата в момент времени t равна y = f(t). На какое расстояние переместится точка, если:
1) y = 2t + t², t ∈ [1; 3]?
2) y = √t + t, t ∈ [4; 9]?
Решение
2) ПРоизводной функции y=f(x) в точке x_(o) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что точка x стремится к точке x_(o)
[m] f`(x_{o})=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{f(x)-f(x_{o})}{x-x_{o}}[/m]
3) не всякая.
Напримеp, y=|x| не имеет предела в точке x_(o)
[b]40.2[/b]
Δx=x-x_(o)=5,3-5,2=0,1
Δf=f(x)-f(x_(o))=5*5,3-5,3^2-(5*5,2-5,2^2)=5*(5,3-5,2)-(5,3^2-5,2^2)=0,1-(5,3-5,2)*(5.3+5,2)=0,1-0,1*10,5=0,1*(1-10,5)=-0,95
Δx=x-x_(o)=-6,5-(-6,4)=-0,1
Δf=f(x)-f(x_(o))=(-6,5)+2*(-6,5)^2-1-((-6,4)+2*(-6,4)^2-1)=-0,1+2,58=2,48
[b]40.4[/b]
[m] v_{cp.}=\frac{s(t_{2})-s(t_(1))}{t_{2}-t_{1}}[/m]
t_(1)=1; t_(2)=1+ Δt=1+0,5=1,5
s(t_(2))-s(t_(1))=(1,5)^3+2*(1,5)^2+3-(1)^3-2*(1)^2-3=2,375+2,5=5,875
[m] v_{cp.}=\frac{s(t_{2})-s(t_(1))}{t_{2}-t_{1}}=\frac{5,875}{0,5}=...[/m] считайте
t_(1)=1; t_(2)=1+ Δt=1+0,2=1,2
s(t_(2))-s(t_(1))=(1,2)^3+2*(1,2)^2+3-(1)^3-2*(1)^2-3=0,728+0,88=0,816
[m] v_{cp.}=\frac{s(t_{2})-s(t_(1))}{t_{2}-t_{1}}=\frac{0,816}{0,2}=...[/m] считайте
t_(1)=1; t_(2)=1+ Δt=1+0,1=1,1
s(t_(2))-s(t_(1))=(1,1)^3+2*(1,1)^2+3-(1)^3-2*(1)^2-3=0,331+0,42=0,373
[m] v_{cp.}=\frac{s(t_{2})-s(t_(1))}{t_{2}-t_{1}}=\frac{0,373}{0,1}=...[/m] считайте
[b]40.9[/b]
y(1)=2*1+1^2=3
y(3)=2*3+3^2=15
S=15-3=[b]12[/b]
y(4)=sqrt(4)+4=6
y(9)=sqrt(9)+9=12
S=12-6=[b]6[/b]