Задача 44565 5.4.9. Установить взаимное расположение...

nerut3001

2020-02-25 21:37:27

5.4.9. Установить взаимное расположение прямой L и плоскости Q:

1)
[m]
\left\{
\begin{aligned}
&x - y + 4z - 6 = 0, \\
&2x + y - z + 3 = 0
\end{aligned}
\right.
[/m]

(L) и [m]3x - y + 6z - 12 = 0[/m] (Q);

2)
[m]
\frac{x}{2} = \frac{y + 13}{17} = \frac{z + 7}{13}
[/m]

(L) и [m]5x - z = 4[/m] (Q).

sova

2020-02-25 22:05:14

1)
Решаем систему трех уравнений:
{x-y+4z-6=0
{2x+y-z+3=0
{3x-y+6z-12=0

Δ=0

Прямая и плоскость либо не имеют общих точек, т е параллельны
либо имеют бесчисленное множество общих точек (прямая лежит в пл.).

Запишем уравнение прямой в каноническом виде как в п.2
и убедимся, что направляющий вектор прямой:
vector{s} и нормальный вектор плоскости
vector{n} коллинеарны или нет.

Прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей:
{x-y+4z-6=0
{2x+y-z+3=0

Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.

Пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения х=0
Тогда система принимает вид:

{-y+4z-6=0
{y-z+3=0

Cкладываем

3z-3=0
z=1

y=z-3
y=-2

[b]А(0; -2; 1)[/b]

Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0

Тогда системa принимает вид:

{x+4z-6=0
{2x-z+3=0

умножаем второе на 4 и складываем

{x+4z-6=0
{8x-4z+12=0

9х+6=0
х=-2/3

z=2х+3=2*(-2/3)+3=5/3

[b]В(-2/3;0;5/3)[/b]

vector{s}=vector{AB}=(-2/3;2;2/3)
Нормальный вектор плоскости
vector{n}={3;-1;6}

Векторы не коллинеарны.

Значит прямая L лежит в плоскости Q.

2)
Направляющий вектор прямой:
vector{s}=(2;17;13)
Нормальный вектор плоскости
vector{n}=(5;0;-1}

Векторы vector{s}=(2;17;13) и vector{n}=(5;0;-1} не коллинеарны и не ортогональны.

Прямая и плоскость пересекаются